Math
L'horloge modulaire
Un cadran de m marques et une aiguille. L'addition trace une étoile qui se referme après m/pgcd(s, m) coups ; la multiplication, un cycle dont la longueur divise phi(m). Certains modules n'ont aucune racine primitive, et la carte le dit : c'est un théorème, pas une recherche ratée.
Ce qui se passe
L'aiguille avance coup par coup et les marques touchées s'allument ; celles qui restent sombres répondent avant que le panneau ne nomme le pgcd. Le pas 8 sur douze marques trace un triangle ; le pas 5, une étoile sur les douze, car 5 et 12 n'ont pas de facteur commun. En multipliant, la règle change : k → k·g, la longueur du cycle est l'ORDRE de g, et selon Euler cet ordre DIVISE phi(m) - sur dix-sept marques, seules 1, 2, 4, 8 et 16 sont possibles. Une racine primitive est un g dont l'ordre vaut exactement phi(m) ; sur un cadran premier, elle parcourt toutes les marques sauf zéro. Combien y en a-t-il ? Exactement phi(phi(m)), et le panneau les compte aussi par recherche exhaustive. Et l'essentiel : les racines primitives n'existent pas pour tout module, seulement pour 1, 2, 4, p^k et 2p^k. Pour 8, 12, 15, 16, 20, 21 ou 24 il n'y en a aucune, et la carte le dit à voix haute plutôt que de ne rien trouver en silence.
Équations du module
Équations addition : l'aiguille à la position k passe à k + s (mod m) ; le cycle se referme après m / gcd(s, m) déplacements et visite TOUTES les marques exactement quand gcd(s, m) = 1 m = 12, s = 8 → 3 marques (un triangle) ; m = 12, s = 5 → toutes les 12 ; m = 360, s = 84 → 30 multiplication : k → k·g (mod m) ; la longueur du cycle est l'ORDRE de g, et d'après le théorème d'Euler elle divise phi(m) m = 17 : phi = 16 et les ordres présents sont 1, 2, 4, 8, 16 - rien d'autre ne peut apparaître une racine primitive est un g dont l'ordre EST phi(m) ; pour m premier, cela signifie un cycle passant par les m − 1 marques non nulles combien : exactement phi(phi(m)) quand elles existent - m = 7 → 2 (la plus petite : 3), m = 11 → 4 (la plus petite : 2), m = 23 → 10 (la plus petite : 5) QUAND ELLES EXISTENT : seulement pour m = 1, 2, 4, p^k et 2p^k. Pour 8, 12, 15, 16, 20, 21, 24 il n'y a AUCUNE racine primitive - un théorème, non une recherche infructueuse phi est calculé ici, non tabulé : phi(7) = 6, phi(9) = 6, phi(12) = 4, phi(16) = 8, phi(36) = 12, phi(100) = 40, phi(1000) = 400
