Math
L'orologio modulare
Un quadrante di m tacche e una lancetta. Sommare disegna una stella che si chiude dopo m/MCD(s, m) mosse; moltiplicare un ciclo la cui lunghezza divide phi(m). Alcuni moduli non hanno alcuna radice primitiva, e la carta lo dice: è un teorema, non una ricerca fallita.
Cosa succede
La lancetta avanza mossa dopo mossa e le tacche toccate si accendono; quelle rimaste scure rispondono prima che il pannello nomini il MCD. Il passo 8 su dodici tacche disegna un triangolo; il passo 5 una stella su tutte e dodici, perché 5 e 12 non hanno fattori comuni. Moltiplicando la regola cambia: k → k·g, la lunghezza del ciclo è l'ORDINE di g e per Eulero quell'ordine DIVIDE phi(m) - su diciassette tacche sono possibili solo 1, 2, 4, 8 e 16. Una radice primitiva è un g il cui ordine è esattamente phi(m); su un quadrante primo percorre tutte le tacche tranne lo zero. Quante sono? Esattamente phi(phi(m)), e il pannello le conta anche per forza bruta. E l'essenziale: le radici primitive non esistono per ogni modulo, ma solo per 1, 2, 4, p^k e 2p^k. Per 8, 12, 15, 16, 20, 21 o 24 non ce n'è nessuna, e la carta lo dice apertamente invece di non trovare nulla in silenzio.
Equazioni del modulo
Equazioni addizione: la lancetta in posizione k passa a k + s (mod m); il ciclo si chiude dopo m / gcd(s, m) passi e tocca OGNI segno esattamente quando gcd(s, m) = 1 m = 12, s = 8 → 3 tacche (un triangolo); m = 12, s = 5 → tutte e 12; m = 360, s = 84 → 30 moltiplicazione: k → k·g (mod m); la lunghezza del ciclo è l'ORDINE di g, e per il teorema di Eulero divide phi(m) m = 17: phi = 16 e gli ordini presenti sono 1, 2, 4, 8, 16 - nient'altro può comparire una radice primitiva è un elemento g il cui ordine È phi(m); per m primo ciò significa un ciclo che attraversa tutte le m − 1 tacche non nulle quante: esattamente phi(phi(m)) quando esistono - m = 7 → 2 (la più piccola 3), m = 11 → 4 (la più piccola 2), m = 23 → 10 (la più piccola 5) QUANDO ESISTONO: solo per m = 1, 2, 4, p^k e 2p^k. Per 8, 12, 15, 16, 20, 21, 24 non esiste ALCUNA radice primitiva - è un teorema, non una ricerca fallita phi è calcolata qui, non presa da una tabella: phi(7) = 6, phi(9) = 6, phi(12) = 4, phi(16) = 8, phi(36) = 12, phi(100) = 40, phi(1000) = 400
