Math
Il crivello e la densità dei primi
Esegui il crivello a mano su tessere numerate: prendi il divisore successivo, prevedi dove inizia la sua onda e guardala cancellare i suoi multipli - quelli già cancellati vengono solo toccati. Accanto, pi(x) contato contro le approssimazioni x/ln x e Li(x).
Cosa succede
Il crivello di Eratostene su una tavola di tessere numerate. Prendi il divisore successivo - la tessera più piccola ancora in piedi - e di' dove inizierà la sua onda: il primo multiplo ancora in piedi è sempre p², perché ogni multiplo più piccolo k·p ha il fattore più piccolo k ed è già fuori. Poi l'onda passa su p², p² + p, …: una tessera in piedi viene cancellata e prende il colore di quel primo; una già cancellata viene solo toccata e contata, mai cancellata di nuovo. I primi trovati si raccolgono in una riga sotto la tavola. Il crivello si ferma quando il quadrato del divisore successivo supera la tavola - ogni composto fino a N ha un fattore al più √N - e ciò che resta in piedi sono i primi. Su una tavola grande le tessere diventano una mappa fitta; una lente sotto il cursore legge i numeri. Il grafico accanto conta pi(x) fino al proprio limite contro due approssimazioni, x/ln x e Li(x): quella grezza sottostima di qualche punto percentuale, Li sta quasi sul conteggio, e 60180 è l'ultimo N sotto i due milioni in cui x/ln x sbaglia di più del dieci per cento.
Equazioni del modulo
Equazioni il crivello conta pi(N) esattamente - è la definizione, non una stima pi(10^3) = 168, pi(10^4) = 1229, pi(10^5) = 9592, pi(10^6) = 78498 N / ln N SOTTOSTIMA: a 10^3 del 13.83 %, a 10^4 del 11.66 %, a 10^5 del 9.45 %, a 10^6 del 7.79 % Li(N) = integrale da 2 a N di dt/ln t sbaglia solo di una frazione di punto percentuale: 5.098 %, 1.309 %, 0.383 %, 0.164 % sulle stesse decadi Li(10^4) = 1245.092052, Li(10^6) = 78626.503996 il compito: 60180 è l'ULTIMO N fino a due milioni per cui N/ln N sbaglia di più del dieci per cento (10.0004 %); a 60181 è 9.9990 % - trovato con UN SOLO PASSAGGIO sui conteggi dei prefissi, perché l'errore NON è monotono: attraversa la linea del dieci per cento 159 volte, e la bisezione che stava qui prima rispondeva 60180 costo del crivello, due grandezze DIVERSE: prime cancellazioni = N − pi(N) − 1 ESATTAMENTE (8770 a 10^4, 921501 a 10^6) - ogni composto viene cancellato per la prima volta esattamente una volta contatti totali ~ somma di N/p su p <= sqrt(N) (16981 contro 18028 a 10^4, rapporto 0.9419; 0.9654 a 10^6) - il crivello parte da p² e non tocca mai i multipli più piccoli massimo salto tra primi consecutivi: 8 dopo 89, 20 dopo 887, 36 dopo 9551, 72 dopo 31397 - tutti ancora sotto ln²N
