Math
Sito i gęstość liczb pierwszych
Przeprowadź sito ręcznie na ponumerowanych płytkach: weź następny dzielnik, przewidź, gdzie zaczyna się jego fala, i patrz, jak skreśla jego wielokrotności - już skreślone są tylko dotykane. Obok pi(x) policzone wobec przybliżeń x/ln x i Li(x).
Co się dzieje
Sito Eratostenesa na planszy ponumerowanych płytek. Weź następny dzielnik - najmniejszą wciąż stojącą płytkę - i powiedz, gdzie zacznie się jego fala: pierwsza wciąż stojąca wielokrotność to zawsze p², bo każda mniejsza wielokrotność k·p ma mniejszy dzielnik k i jest już skreślona. Potem fala przechodzi po p², p² + p, …: stojącą płytkę skreśla, a ta przyjmuje kolor tej liczby pierwszej; już skreśloną tylko dotyka i liczy, nigdy nie skreśla ponownie. Znalezione liczby pierwsze zbierają się w rzędzie pod planszą. Sito kończy się, gdy kwadrat następnego dzielnika wychodzi poza planszę - każda liczba złożona do N ma dzielnik co najwyżej √N - a to, co wciąż stoi, to liczby pierwsze. Na dużej planszy płytki stają się gęstą mapą; lupa pod kursorem odczytuje liczby. Wykres obok liczy pi(x) do własnej granicy wobec dwóch przybliżeń, x/ln x i Li(x): zgrubne zaniża o procenty, Li leży prawie na liczeniu, a 60180 to ostatnie N poniżej dwóch milionów, gdzie x/ln x myli się o ponad dziesięć procent.
Równania modułu
Równania sito zlicza pi(N) dokładnie - to jest definicja, a nie oszacowanie pi(10^3) = 168, pi(10^4) = 1229, pi(10^5) = 9592, pi(10^6) = 78498 N / ln N ZANIŻA: przy 10^3 o 13.83 %, przy 10^4 o 11.66 %, przy 10^5 o 9.45 %, przy 10^6 o 7.79 % Li(N) = całka od 2 do N z dt/ln t myli się o ułamek procenta: 5.098 %, 1.309 %, 0.383 %, 0.164 % w tych samych rzędach wielkości Li(10^4) = 1245.092052, Li(10^6) = 78626.503996 zadanie: 60180 to OSTATNIE N do dwóch milionów, dla którego N/ln N odbiega o więcej niż dziesięć procent (10.0004 %); przy 60181 jest to 9.9990 % - znalezione JEDNYM PRZEJŚCIEM po zliczeniach prefiksowych, bo błąd NIE jest monotoniczny: przecina linię dziesięciu procent 159 razy, a bisekcja, która tu kiedyś stała, dawała odpowiedź 60180 koszt sita, dwie RÓŻNE wielkości: pierwsze skreślenia = N − pi(N) − 1 DOKŁADNIE (8770 przy 10^4, 921501 przy 10^6) - każda liczba złożona jest skreślana po raz pierwszy dokładnie raz łączna liczba dotknięć ~ suma N/p po p <= sqrt(N) (16981 wobec 18028 przy 10^4, stosunek 0.9419; 0.9654 przy 10^6) - sito zaczyna od p² i nigdy nie dotyka mniejszych wielokrotności największa przerwa między liczbami pierwszymi: 8 po 89, 20 po 887, 36 po 9551, 72 po 31397 - wszystkie wciąż poniżej ln²N
