Math
La criba y la densidad de los primos
Haga la criba a mano sobre fichas numeradas: tome el siguiente divisor, prediga dónde empieza su ola y mire cómo tacha sus múltiplos - los ya tachados solo se tocan. Al lado, pi(x) contado frente a las aproximaciones x/ln x y Li(x).
Qué ocurre
La criba de Eratóstenes sobre un tablero de fichas numeradas. Tome el siguiente divisor - la ficha más pequeña aún en pie - y diga dónde empezará su ola: el primer múltiplo aún en pie es siempre p², porque todo múltiplo menor k·p tiene el factor menor k y ya está tachado. Luego la ola recorre p², p² + p, …: una ficha en pie queda tachada y toma el color de ese primo; una ya tachada solo se toca y se cuenta, nunca se tacha otra vez. Los primos encontrados se juntan en una fila bajo el tablero. La criba se detiene cuando el cuadrado del siguiente divisor sale del tablero - todo compuesto hasta N tiene un factor como mucho √N - y lo que sigue en pie son los primos. En un tablero grande las fichas pasan a ser un mapa denso; una lupa bajo el cursor lee los números. El gráfico de al lado cuenta pi(x) hasta su propio límite frente a dos aproximaciones, x/ln x y Li(x): la tosca subestima unos puntos porcentuales, Li queda casi sobre el conteo, y 60180 es el último N por debajo de dos millones donde x/ln x se equivoca en más de un diez por ciento.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones la criba cuenta pi(N) exactamente - es la definición, no una estimación pi(10^3) = 168, pi(10^4) = 1229, pi(10^5) = 9592, pi(10^6) = 78498 N / ln N SUBESTIMA: en 10^3 un 13.83 %, en 10^4 un 11.66 %, en 10^5 un 9.45 %, en 10^6 un 7.79 % Li(N) = integral de 2 a N de dt/ln t falla en una fracción de un por ciento: 5.098 %, 1.309 %, 0.383 %, 0.164 % en las mismas décadas Li(10^4) = 1245.092052, Li(10^6) = 78626.503996 la tarea: 60180 es el ÚLTIMO N hasta dos millones en que N/ln N se desvía en más de un diez por ciento (10.0004 %); en 60181 es 9.9990 % - se encuentra con UNA SOLA PASADA sobre los recuentos de prefijos, porque el error NO es monótono: cruza la línea del diez por ciento 159 veces, y la bisección que antes estaba aquí respondía 60180 coste de la criba, dos cantidades DISTINTAS: primeros tachados = N − pi(N) − 1 EXACTAMENTE (8770 en 10^4, 921501 en 10^6) - cada compuesto se tacha por primera vez exactamente una vez toques totales ~ suma de N/p sobre p <= sqrt(N) (16981 frente a 18028 en 10^4, razón 0.9419; 0.9654 en 10^6) - la criba empieza en p² y nunca toca los múltiplos menores mayor hueco entre primos: 8 tras 89, 20 tras 887, 36 tras 9551, 72 tras 31397 - todos aún por debajo de ln²N
