Math
Nim e la somma binaria
Mucchi di sassi e sotto le loro cifre binarie. Una colonna con un numero dispari di uni arde di rosso; senza colonne rosse chi muove ha già perso. La regola si verifica risolvendo tutto l’albero del gioco.
Cosa succede
Prendi quante pietre vuoi da UN mucchio; perde chi non ha più nulla da prendere. Sotto i mucchi la carta disegna le loro cifre binarie, una colonna per mucchio, e una colonna con un numero dispari di uni arde di rosso. La regola di Bouton dice che la posizione è persa per chi muove esattamente quando nessuna colonna è rossa, cioè quando la somma binaria è zero. Qui non si chiede di crederci: ogni posizione dello spazio degli stati viene etichettata risolvendo il gioco fino in fondo, e le etichette si confrontano con la regola su 729, 2197, 4096 e 7776 posizioni, senza una sola discordanza. Per lasciare uno zero all'avversario bisogna spegnere le colonne rosse, e può farlo solo un mucchio che porta un uno nella cifra rossa più alta. Tali mucchi sono in numero dispari - altrimenti quella cifra non sarebbe rossa -, quindi le mosse vincenti sono una o tre e mai due: contando su tre mucchi, 1092 posizioni ne hanno una sola, 148 ne hanno tre e nessuna ne ha due. Passa al misère, dove l'ultima pietra fa perdere, e la stessa regola si rompe: l'albero risolto la contraddice proprio sulle posizioni fatte di pietre singole.
Equazioni del modulo
Equazioni mucchi di sassi, una mossa prende un numero qualsiasi da UN solo mucchio, e perde il giocatore che non ha nulla da prendere regola di Bouton: la posizione è perdente per chi deve muovere esattamente quando la somma binaria (xor) delle dimensioni dei mucchi è zero la scheda non cita questa regola - etichetta OGNI posizione risolvendo il gioco fino alla fine e confronta: 729, 2197, 4096 e 7776 posizioni, zero discordanze le mosse vincenti sono i mucchi con (h xor s) < h, e il loro numero è SEMPRE DISPARI - uno o tre, mai due: su tre mucchi fino a 10 la distribuzione è: 0 mosse in 91 posizioni, 1 mossa in 1092, 3 mosse in 148, e 2 mosse in nessuna il motivo non è una coincidenza: una mossa che porta la somma a zero è fatta da un mucchio con un uno nel bit più alto acceso della somma, e tali mucchi sono in numero dispari, altrimenti quel bit sarebbe zero le posizioni perdenti sono contate esattamente: k mucchi con dimensioni 0..2^b−1 ne contengono 2^(b(k−1)) - 64 per tre mucchi di 0..7 la versione MISÈRE è un gioco diverso e questa regola lì è SBAGLIATA: la soluzione dell'albero non concorda con lo xor in esattamente 2^k posizioni, tutte fatte di sassi singoli la regola misère: finché qualche mucchio ha più di un sasso, si gioca come al solito; quando ogni mucchio ne ha uno, la posizione è perdente per chi muove esattamente quando il loro numero è DISPARI (1,1,1) è vinta per chi muove nel gioco normale e persa nella misère; (1,1) è il contrario; (2,1,1) è vinta in entrambi la distribuzione predefinita 7-5-3 ha somma binaria 1 ed esattamente tre mosse vincenti: verso 6-5-3, verso 7-4-3 e verso 7-5-2
