Math
Nim und die Binärsumme
Steinhaufen und darunter ihre Binärziffern. Eine Spalte mit ungerader Anzahl Einsen brennt rot; ohne rote Spalte hat der Ziehende schon verloren. Die Regel wird durch vollständiges Lösen des Spielbaums geprüft, nicht zitiert.
Was passiert
Nimm beliebig viele Steine aus EINEM Haufen; wer nichts mehr nehmen kann, verliert. Unter den Haufen zeichnet die Karte ihre Binärziffern, eine Spalte je Haufen, und eine Spalte mit ungerader Anzahl Einsen brennt rot. Boutons Regel sagt: die Stellung ist für den Ziehenden genau dann verloren, wenn keine Spalte rot ist - wenn die Binärsumme null ist. Geglaubt werden muss das hier nicht: jede Stellung des Zustandsraums wird durch vollständiges Lösen des Spiels markiert, und die Marken werden auf 729, 2197, 4096 und 7776 Stellungen mit der Regel verglichen, ohne eine einzige Abweichung. Um dem Gegner eine Null zu lassen, müssen die roten Spalten gelöscht werden, und das kann nur ein Haufen, der in der obersten roten Ziffer eine Eins trägt. Solche Haufen gibt es ungerade viele - sonst wäre die Ziffer nicht rot -, also ist die Zahl der Gewinnzüge eins oder drei und nie zwei: über drei Haufen gezählt sind es 1092 Stellungen mit genau einem Gewinnzug, 148 mit dreien und keine einzige mit zweien. Schalte auf Misere um, wo der letzte Stein verliert, und dieselbe Regel bricht: der gelöste Baum widerspricht ihr genau auf den Stellungen aus einzelnen Steinen.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen Steinhaufen, ein Zug nimmt beliebig viele Steine von EINEM Haufen, und wer nichts mehr nehmen kann, verliert Boutons Regel: Die Stellung ist für den Spieler am Zug genau dann verloren, wenn die Binärsumme (xor) der Haufengrößen null ist die Karte zitiert das nicht - sie bewertet JEDE Stellung, indem sie das Spiel bis zum Ende löst, und vergleicht: 729, 2197, 4096 und 7776 Stellungen, null Abweichungen Gewinnzüge sind die Haufen mit (h xor s) < h, und ihre Anzahl ist IMMER UNGERADE - eins oder drei, nie zwei: über drei Haufen bis 10 ist die Verteilung 0 Züge in 91 Stellungen, 1 Zug in 1092, 3 Züge in 148, und 2 Züge in keiner der Grund ist kein Zufall: Ein Zug auf Summe null wird von einem Haufen gemacht, der im höchsten gesetzten Bit der Summe eine Eins trägt, und solche Haufen sind in ungerader Anzahl vorhanden, sonst wäre dieses Bit null verlorene Stellungen werden exakt gezählt: k Haufen mit Größen 0..2^b−1 enthalten 2^(b(k−1)) davon - 64 für drei Haufen der Größen 0..7 MISERE ist ein anderes Spiel, und diese Regel ist dort FALSCH: Das Lösen des Baums weicht vom xor auf genau 2^k Stellungen ab, die alle aus einzelnen Steinen bestehen die Misere-Regel: Solange ein Haufen mehr als einen Stein enthält, wie gewohnt spielen; wenn jeder Haufen einen enthält, ist die Stellung für den Ziehenden genau dann verloren, wenn ihre Anzahl UNGERADE ist (1,1,1) ist im normalen Spiel für den Ziehenden gewonnen und im Misere-Spiel verloren; bei (1,1) ist es umgekehrt; (2,1,1) ist in beiden gewonnen die Standardaufstellung 7-5-3 hat die Binärsumme 1 und genau drei Gewinnzüge: nach 6-5-3, nach 7-4-3 und nach 7-5-2
