Math
Nim y la suma binaria
Montones de piedras y debajo sus dígitos binarios. Una columna con un número impar de unos arde en rojo; sin columnas rojas, quien mueve ya ha perdido. La regla se comprueba resolviendo todo el árbol del juego.
Qué ocurre
Toma tantas piedras como quieras de UN montón; pierde quien no tenga nada que tomar. Bajo los montones la tarjeta dibuja sus dígitos binarios, una columna por montón, y una columna con un número impar de unos arde en rojo. La regla de Bouton dice que la posición está perdida para quien mueve exactamente cuando ninguna columna es roja, es decir cuando la suma binaria es cero. Aquí no se pide creerlo: cada posición del espacio de estados se etiqueta resolviendo el juego hasta el final, y las etiquetas se comparan con la regla en 729, 2197, 4096 y 7776 posiciones, sin una sola discrepancia. Para dejar un cero al rival hay que apagar las columnas rojas, y solo puede hacerlo un montón que lleve un uno en el dígito rojo más alto. Esos montones son impares en número - si no, ese dígito no sería rojo -, así que las jugadas ganadoras son una o tres y nunca dos: contando sobre tres montones, 1092 posiciones tienen una sola, 148 tienen tres y ninguna tiene dos. Cambia a misère, donde la última piedra hace perder, y la misma regla se rompe: el árbol resuelto la contradice justo en las posiciones hechas de piedras sueltas.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones montones de piedras, una jugada toma cualquier número de UN solo montón, y pierde el jugador que no tiene nada que tomar regla de Bouton: la posición está perdida para el jugador que mueve exactamente cuando la suma binaria (xor) de los tamaños de los montones es cero la tarjeta no cita esto - etiqueta TODA posición resolviendo el juego hasta el final y compara: 729, 2197, 4096 y 7776 posiciones, cero discrepancias las jugadas ganadoras son los montones con (h xor s) < h, y su número es SIEMPRE IMPAR - uno o tres, nunca dos: con tres montones de hasta 10 la distribución es 0 jugadas en 91 posiciones, 1 jugada en 1092, 3 jugadas en 148, y 2 jugadas en ninguna la razón no es una coincidencia: una jugada a cero la hace un montón que lleva un uno en el bit activo más alto de la suma, y tales montones son en número impar, o ese bit sería cero las posiciones perdedoras se cuentan exactamente: k montones con tamaños 0..2^b−1 contienen 2^(b(k−1)) de ellas - 64 para tres montones de 0..7 MISERE es un juego distinto y esta regla es ERRÓNEA allí: resolver el árbol discrepa del xor en exactamente 2^k posiciones, todas formadas por piedras sueltas la regla misere: mientras algún montón tenga más de una piedra, se juega como siempre; cuando cada montón tiene una, la posición está perdida para quien mueve exactamente cuando su número es IMPAR (1,1,1) es ganada para quien mueve en el juego normal y perdida en misere; (1,1) es al revés; (2,1,1) es ganada en ambos el reparto por defecto 7-5-3 tiene suma binaria 1 y exactamente tres jugadas ganadoras: a 6-5-3, a 7-4-3 y a 7-5-2
