Math
Le Nim et la somme binaire
Des tas de pierres et, dessous, leurs chiffres binaires. Une colonne au nombre impair de uns brûle en rouge ; sans colonne rouge, celui qui doit jouer a déjà perdu. La règle est vérifiée en résolvant tout l'arbre du jeu.
Ce qui se passe
Prends autant de pierres que tu veux dans UN tas ; perd celui qui n'a plus rien à prendre. Sous les tas, la carte dessine leurs chiffres binaires, une colonne par tas, et une colonne au nombre impair de uns brûle en rouge. La règle de Bouton dit que la position est perdue pour celui qui joue exactement quand aucune colonne n'est rouge - quand la somme binaire vaut zéro. Il n'est pas demandé de le croire : chaque position de l'espace d'états est étiquetée en résolvant le jeu jusqu'au bout, et les étiquettes sont comparées à la règle sur 729, 2197, 4096 et 7776 positions, sans une seule divergence. Pour laisser un zéro à l'adversaire, il faut éteindre les colonnes rouges, et seul un tas portant un un au chiffre rouge le plus haut le peut. De tels tas sont en nombre impair - sinon ce chiffre ne serait pas rouge -, donc les coups gagnants sont un ou trois et jamais deux : sur trois tas, 1092 positions en ont un seul, 148 en ont trois et aucune n'en a deux. Passe au misère, où prendre la dernière pierre fait perdre, et la même règle casse : l'arbre résolu la contredit exactement sur les positions faites de pierres seules.
Équations du module
Équations des tas de pierres, un coup prend n'importe quel nombre de pierres dans UN SEUL tas, et le joueur qui n'a plus rien à prendre perd règle de Bouton : la position est perdante pour le joueur qui doit jouer exactement quand la somme binaire (ou exclusif) des tailles des tas est nulle la fiche ne cite pas ceci - elle étiquette CHAQUE position en résolvant le jeu jusqu'au bout et compare : 729, 2197, 4096 et 7776 positions, zéro désaccord les coups gagnants sont les tas avec (h xor s) < h, et leur nombre est TOUJOURS IMPAIR - un ou trois, jamais deux : sur trois tas jusqu'à 10 la répartition est 0 coup dans 91 positions, 1 coup dans 1092, 3 coups dans 148, et 2 coups dans aucune la raison n'est pas une coïncidence : un coup vers zéro est joué par un tas dont l'écriture binaire contient le bit de poids fort de la somme, et de tels tas sont en nombre impair, sinon ce bit serait nul les positions perdantes sont comptées exactement : k tas de tailles 0..2^b−1 en contiennent 2^(b(k−1)) - 64 pour trois tas de 0..7 la variante MISÈRE est un autre jeu et cette règle y est FAUSSE : la résolution de l'arbre diffère du xor sur exactement 2^k positions, toutes faites de pierres isolées la règle de la misère : tant qu'un tas contient plus d'une pierre, jouer comme d'habitude ; quand chaque tas en contient une seule, la position est perdante pour celui qui joue exactement quand leur nombre est IMPAIR (1,1,1) est gagnante pour celui qui joue dans le jeu normal et perdante dans la misère ; (1,1) est l'inverse ; (2,1,1) est gagnante dans les deux la donne par défaut 7-5-3 a pour somme binaire 1 et exactement trois coups gagnants : vers 6-5-3, vers 7-4-3 et vers 7-5-2
