Math
Nim i suma binarna
Stosy kamieni, a pod nimi ich zapis binarny. Kolumna z nieparzystą liczbą jedynek płonie na czerwono; bez czerwonych kolumn ten, kto ma ruch, już przegrał. Regułę sprawdza rozwiązanie całego drzewa gry.
Co się dzieje
Bierz ile chcesz kamieni z JEDNEGO stosu; przegrywa ten, kto nie ma co wziąć. Pod stosami karta rysuje ich zapis binarny, kolumna na stos, a kolumna z nieparzystą liczbą jedynek płonie na czerwono. Reguła Boutona mówi, że pozycja jest przegrana dla ruszającego dokładnie wtedy, gdy żadna kolumna nie jest czerwona - gdy suma binarna wynosi zero. Nie trzeba w to wierzyć: każda pozycja przestrzeni stanów zostaje oznaczona rozwiązaniem gry do końca, a oznaczenia porównuje się z regułą na 729, 2197, 4096 i 7776 pozycjach, bez ani jednej rozbieżności. Żeby zostawić przeciwnikowi zero, trzeba zgasić czerwone kolumny, a może to tylko stos z jedynką na najwyższej czerwonej pozycji. Takich stosów jest nieparzyście wiele - inaczej ta pozycja nie byłaby czerwona - więc ruchów wygrywających jest jeden albo trzy i nigdy dwa: na trzech stosach 1092 pozycje mają jeden, 148 mają trzy, a dwóch nie ma żadna. Przełącz na misère, gdzie ostatni kamień przegrywa, a ta sama reguła pęka: rozwiązane drzewo zaprzecza jej dokładnie na pozycjach z pojedynczych kamieni.
Równania modułu
Równania kopce kamieni, ruch zabiera dowolną liczbę z JEDNEGO kopca, a gracz, który nie ma co zabrać, przegrywa reguła Boutona: pozycja jest przegrana dla gracza, który ma ruch, dokładnie wtedy, gdy suma binarna (xor) rozmiarów kopców jest równa zero karta tego nie cytuje - oznacza KAŻDĄ pozycję, rozwiązując grę do końca, i porównuje: 729, 2197, 4096 i 7776 pozycji, zero rozbieżności ruchy wygrywające to kopce z (h xor s) < h, a ich liczba jest ZAWSZE NIEPARZYSTA - jeden lub trzy, nigdy dwa: dla trzech kopców do 10 rozkład jest taki: 0 ruchów w 91 pozycjach, 1 ruch w 1092, 3 ruchy w 148, a 2 ruchy w żadnej powód nie jest przypadkiem: ruch do zera wykonuje kopiec mający jedynkę na najwyższym ustawionym bicie sumy, a takich kopców jest nieparzysta liczba, bo inaczej ten bit byłby zerem pozycje przegrane są zliczone dokładnie: k kopców o rozmiarach 0..2^b−1 zawiera ich 2^(b(k−1)) - 64 dla trzech kopców o rozmiarach 0..7 MISERE to inna gra i ta reguła jest tam BŁĘDNA: rozwiązanie drzewa różni się od xor na dokładnie 2^k pozycjach, wszystkich złożonych z pojedynczych kamieni reguła misere: dopóki jakiś kopiec ma więcej niż jeden kamień, gra się jak zwykle; gdy każdy kopiec ma jeden, pozycja jest przegrana dla wykonującego ruch dokładnie wtedy, gdy ich liczba jest NIEPARZYSTA (1,1,1) jest wygrana dla wykonującego ruch w grze normalnej i przegrana w misere; (1,1) jest odwrotnie; (2,1,1) jest wygrana w obu domyślne rozdanie 7-5-3 ma sumę binarną 1 i dokładnie trzy ruchy wygrywające: do 6-5-3, do 7-4-3 i do 7-5-2
