L'algorithme d'Euclide et les fractions continues

Équations
a = q*b + r, 0 <= r < b ; couple suivant (b,r) ; gcd(a,b)=gcd(b,r).
Comptez la division finale, celle dont le reste est nul. Une entrée nulle ne nécessite aucune division ; par convention, gcd(0,0)=0.
La scène ordonne les grandeurs : high=max(|A|,|B|), low=min(|A|,|B|).
Bézout : gcd(A,B)=x*A+y*B. Chaque reste affiché possède aussi des coefficients exacts par rapport aux entrées d'origine A et B.
Pour low>0, les quotients euclidiens forment la fraction continue finie de high/low.
355/113=[3;7,16] ; 1071/462=[2;3,7]=51/22. La dernière réduite est exactement égale au rationnel d'entrée.
Pour une réduite p/q de ce rationnel : error=|high*q-low*p|/(low*q) < 1/q^2.
Cette erreur est mesurée par rapport à high/low, et non à pi. Aucune affirmation de précision sur pi n'est faite ici.
Lamé : divisions <= 5*(chiffres décimaux de la plus petite entrée positive).
F20=6765, F19=4181 demandent 18 divisions ; la borne grossière de Lamé est 20, non atteinte.
Des nombres de Fibonacci consécutifs donnent les entrées positives ordonnées minimales pour un nombre de divisions prescrit (a>b>0).
Ce ne sont pas les seules paires ayant ce nombre : multiplier les deux entrées par un même entier positif conserve les quotients.
Pour cette expérience de paires uniformes triées : référence empirique (12 ln 2 / pi^2)*ln N - 0.444.
12 ln 2 / pi^2 = 0.84276591327219452 ; -0.444 est ajusté, ce n'est ni une constante universelle ni un théorème de type fini-N.
Tirez les deux entiers indépendamment dans 1..N, triez pour la division, conservez les égalités, comptez le zéro final.
Erreur standard = écart type de l'échantillon / sqrt(essais) ; un échantillon fini ne prouve pas une loi asymptotique.