L'algoritmo di Euclide e le frazioni continue

Equazioni
a = q*b + r, 0 <= r < b; coppia successiva (b,r); gcd(a,b)=gcd(b,r).
Conta la divisione finale con resto zero. Un dato nullo non richiede divisioni; per convenzione gcd(0,0)=0.
La scena ordina le grandezze: high=max(|A|,|B|), low=min(|A|,|B|).
Bézout: gcd(A,B)=x*A+y*B. Ogni resto mostrato ha anche coefficienti esatti rispetto ad A e B originali.
Per low>0, i quozienti euclidei sono la frazione continua finita di high/low.
355/113=[3;7,16]; 1071/462=[2;3,7]=51/22. L'ultima ridotta è esattamente uguale al razionale di partenza.
Per una ridotta p/q di quel razionale: error=|high*q-low*p|/(low*q) < 1/q^2.
Questo errore è rispetto a high/low, non a pi greco. Qui non si afferma alcuna accuratezza su pi greco.
Lamé: divisioni <= 5*(cifre decimali dell'ingresso minore positivo).
F20=6765, F19=4181 richiedono 18 divisioni; il limite grossolano di Lamé è 20, non raggiunto.
I numeri di Fibonacci consecutivi danno gli ingressi positivi ordinati minimi per un numero prescritto di divisioni (a>b>0).
Non sono le uniche coppie con quel numero di divisioni: moltiplicare entrambi gli ingressi per lo stesso intero positivo conserva i quozienti.
Per questo esperimento con coppie uniformi ordinate: riferimento empirico (12 ln 2 / pi^2)*ln N - 0.444.
12 ln 2 / pi^2 = 0.84276591327219452; -0.444 è un valore adattato, non una costante universale né un teorema finito-N.
Si estraggono i due interi indipendentemente da 1..N, si ordinano per la divisione, si tengono i pareggi, si conta lo zero finale.
Errore standard = deviazione standard campionaria / sqrt(prove); un campione finito non dimostra una legge asintotica.