Engineering
Trasporto cooperativo con robot
Nell’hangar dei rover di una base di ricerca su Marte al tramonto, con il grande portone aperto sulla regolite rossa, sei piccoli robot a sei ruote agganciati a una grande cassa di pannelli solari la portano lungo una linea dipinta, con un quarto di giro, fino al suo posto. L’attrito di Coulomb del pavimento richiede mu m g prima che la cassa si muova; le ruote di ogni robot danno al massimo mu_w m_r g, così che il numero di robot necessari è lo stesso su Marte e sulla Luna e cresce sulla Terra, dove limitano i motori. La squadra condivide una sola legge di controllo e ogni robot si prende la sua quota a norma minima: spegnine uno e guarda la cassa ruotare finché gli altri se ne accorgono e si fanno carico del suo carico; togline due e la squadra si satura e la cassa avanza appena. Lascia che un solo robot spinga la cassa vuota fuori centro e questa ruota attorno al punto del suo asse lungo previsto dalla formula chiusa per un rettangolo uniforme. Ogni joule immesso dai robot ricompare come calore nel pavimento.
Cosa succede
Una cassa da 3,0 × 1,2 m e 300 kg (I = m·(L² + W²)/12 = 261 kg·m²) poggia su piastre d’acciaio del pavimento con μ = 0.4 sotto la gravità di Marte, 3,721 m/s². Il suo peso preme uniformemente sull’impronta, e l’attrito di Coulomb agisce su ciascuna di 24 × 10 celle contro la velocità propria della cella, smussato sotto ε = 2 mm/s: prima che la cassa scivoli, i robot devono spingere μ·m·g = 446.5 N. Ogni robot da 40 kg è agganciato a un lato lungo e spinge al massimo min(150 N, μ_w·m_r·g) = 104.2 N con μ_w = 0.7, così che servono ceil(μ·m·g/F_max) = 5 robot su Marte e sulla Luna, perché la trazione cala con g come l’attrito, e 8 sulla Terra, dove limitano i motori. Il percorso è di 6 m in rettilineo, un quarto di giro di 3,5 m di raggio e altri 5 m a 0,25 m/s con 0,1 m/s² di accelerazione. La squadra condivide un torsore PID sull’errore di posa (un polo triplo a 1,2 rad/s) più l’attrito noto del pavimento come anticipo; ogni robot si prende la sua quota a norma minima f_i = F/n + ((τ − c×F)/J)·rot90(r_i − c) sui robot che la squadra ritiene attivi, e tutte le quote si riducono insieme quando una supererebbe il suo limite. Un robot guasto smette subito di spingere; gli altri lo scoprono dopo il ritardo di rilevamento. Lo spintore singolo avanza contro il lato lungo della cassa vuota da 80 kg a 0,1 m/s: in modo quasi statico la cassa ruota attorno al punto del suo asse lungo in cui la risultante d’attrito del rettangolo uniforme, integrali in forma chiusa di ρ e w/ρ su di esso, cade sulla retta dello spintore. La rotazione avanza con la regola implicita del punto medio, Newton sul potenziale di dissipazione convesso, con le forze dei robot tenute costanti su ogni passo di controllo di 10 ms, così che il lavoro dei robot è uguale al calore d’attrito più l’energia cinetica a meno dell’arrotondamento.
Da provare
Guarda sei robot dividersi il carico in parti uguali sul rettilineo e portare la cassa al suo posto; togli un robot e guarda la rotazione e le nuove quote; prova quattro robot, o la Terra; scegli lo spintore singolo e confronta il centro di rotazione con la formula chiusa; sposta il punto di spinta.
Il modello e i suoi limiti
Una cassa rigida su un pavimento rigido e piano con pressione uniforme e attrito di Coulomb smussato sotto 2 mm/s, così che una cassa trattenuta sotto la sua soglia striscia a ε·f/√(1 − f²) invece di restare ferma; robot come sorgenti di forza ideali nei loro agganci (la loro massa e il loro rotolamento sono a carico dei loro azionamenti), localizzazione condivisa ideale e consenso istantaneo salvo il ritardo di rilevamento dei guasti; nessuna cedevolezza negli agganci, nessuno slittamento delle ruote di un robot sul pavimento oltre il suo limite di forza.
Equazioni del modulo
Equazioni F_fr = −Σ μ·p·ΔA·u_c/√(|u_c|² + ε²), u_c = V + Ω×r_c, pure translation: |F_fr| = μ·m·g·v/√(v² + ε²) f_i = F/n + ((τ − c×F)/J)·rot90(r_i − c), J = Σ|r_i − c|², |f_i| ≤ min(F_motor, μ_w·m_r·g) n ≥ μ·m·g/F_max, below it: v_creep = ε·f/√(1 − f²), f = n·F_max/(μ·m·g) e = ∫ρ dA/∫(w/ρ) dA + c, F_push = μ·p·∫(w/ρ) dA, W_robots = Q_friction + E_k
