Engineering
Transporte cooperativo con robots
En el hangar de rovers de una base de investigación en Marte al atardecer, con su gran puerta abierta al regolito rojo, seis pequeños robots de seis ruedas acoplados a una gran caja de paneles solares la llevan a lo largo de una línea pintada, con un cuarto de vuelta, hasta su plaza. La fricción de Coulomb del suelo exige mu m g antes de que la caja se mueva siquiera; las ruedas de cada robot dan como máximo mu_w m_r g, de modo que el número de robots necesarios es el mismo en Marte y en la Luna y crece en la Tierra, donde limitan los motores. El equipo comparte una sola ley de control y cada robot asume su parte de norma mínima: apaga uno y mira cómo la caja gira hasta que los demás se enteran y asumen su carga; quita dos y el equipo se satura y la caja apenas avanza. Deja que un solo robot empuje la caja vacía fuera del centro y gira en torno al punto de su eje largo que predice la fórmula cerrada para un rectángulo uniforme. Cada julio que aportan los robots reaparece como calor en el suelo.
Qué ocurre
Una caja de 3,0 × 1,2 m y 300 kg (I = m·(L² + W²)/12 = 261 kg·m²) descansa sobre placas de acero del suelo con μ = 0.4 bajo la gravedad de Marte, 3,721 m/s². Su peso presiona uniformemente sobre la huella, y la fricción de Coulomb actúa en cada una de 24 × 10 celdas contra la velocidad propia de la celda, suavizada por debajo de ε = 2 mm/s: antes de que la caja deslice siquiera, los robots deben empujar μ·m·g = 446.5 N. Cada robot de 40 kg está acoplado a un lado largo y empuja como máximo min(150 N, μ_w·m_r·g) = 104.2 N con μ_w = 0.7, de modo que hacen falta ceil(μ·m·g/F_max) = 5 robots en Marte y en la Luna, porque la tracción cae con g igual que la fricción, y 8 en la Tierra, donde limitan los motores. La trayectoria recorre 6 m en recta, un cuarto de vuelta de 3,5 m de radio y 5 m más a 0,25 m/s con 0,1 m/s² de aceleración. El equipo comparte un torsor PID sobre el error de pose (un polo triple a 1,2 rad/s) más la fricción conocida del suelo como prealimentación; cada robot asume su parte de norma mínima f_i = F/n + ((τ − c×F)/J)·rot90(r_i − c) sobre los robots que el equipo cree activos, y todas las partes se reducen a la vez cuando una superaría su límite. Un robot averiado deja de empujar en el acto; los demás se enteran tras el retardo de detección. El empujador único avanza contra el lado largo de la caja vacía de 80 kg a 0,1 m/s: de forma cuasiestática la caja gira en torno al punto de su eje largo en el que la resultante de fricción del rectángulo uniforme, integrales de forma cerrada de ρ y w/ρ sobre él, cae sobre la línea del empujador. El giro avanza con la regla implícita del punto medio, Newton sobre el potencial de disipación convexo, con las fuerzas de los robots mantenidas en cada paso de control de 10 ms, de modo que el trabajo de los robots es igual al calor de fricción más la energía cinética hasta el redondeo.
Qué probar
Observa cómo seis robots se reparten la carga por igual en la recta y llevan la caja a su plaza; retira un robot y observa el giro y las nuevas partes; prueba con cuatro robots, o con la Tierra; elige el empujador único y compara el centro de rotación con la fórmula cerrada; mueve el punto de empuje.
El modelo y sus límites
Una caja rígida sobre un suelo rígido y plano con presión uniforme y fricción de Coulomb suavizada por debajo de 2 mm/s, de modo que una caja retenida por debajo de su umbral repta a ε·f/√(1 − f²) en lugar de quedarse quieta; robots como fuentes de fuerza ideales en sus acoplamientos (su propia masa y rodadura las asumen sus propios accionamientos), localización compartida ideal y consenso instantáneo salvo el retardo de detección de averías; sin flexibilidad en los acoplamientos, sin deslizamiento de las ruedas de un robot sobre el suelo más allá de su límite de fuerza.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones F_fr = −Σ μ·p·ΔA·u_c/√(|u_c|² + ε²), u_c = V + Ω×r_c, pure translation: |F_fr| = μ·m·g·v/√(v² + ε²) f_i = F/n + ((τ − c×F)/J)·rot90(r_i − c), J = Σ|r_i − c|², |f_i| ≤ min(F_motor, μ_w·m_r·g) n ≥ μ·m·g/F_max, below it: v_creep = ε·f/√(1 − f²), f = n·F_max/(μ·m·g) e = ∫ρ dA/∫(w/ρ) dA + c, F_push = μ·p·∫(w/ρ) dA, W_robots = Q_friction + E_k
