Engineering
Роботи несуть спільний вантаж
В ангарі для марсоходів марсіанської дослідницької бази на заході сонця, коли його величезні ворота відчинені на червоний реголіт, шість маленьких шестиколісних роботів, пристикованих до великого ящика із сонячними панелями, несуть його вздовж намальованої лінії через поворот на чверть кола до його відсіку. Кулонове тертя підлоги вимагає mu m g, перш ніж ящик узагалі зрушить; колеса кожного робота дають не більше mu_w m_r g, тому потрібне число роботів однакове на Марсі й на Місяці та зростає на Землі, де обмежують мотори. Команда має спільний закон керування, і кожен робот бере свою частку з мінімальною нормою: вимкніть одного — і дивіться, як ящик розвертається, доки інші не дізнаються про це й не візьмуть його навантаження; заберіть двох — і команда входить у насичення, а ящик лише повзе. Дайте одному роботу штовхати порожній ящик поза центром — і той повертається навколо точки на своїй довгій осі, яку передбачає замкнена формула для однорідного прямокутника. Кожен джоуль, вкладений роботами, з’являється знову як тепло в підлозі.
Що відбувається
Ящик 3,0 × 1,2 м масою 300 кг (I = m·(L² + W²)/12 = 261 кг·м²) стоїть на сталевих плитах підлоги з μ = 0,4 при марсіанській гравітації 3,721 м/с². Його вага рівномірно тисне на площу опори, а кулонове тертя діє на кожну з 24 × 10 комірок проти власної швидкості комірки, згладжене нижче ε = 2 мм/с: перш ніж ящик узагалі поїде, роботи мають штовхати з силою μ·m·g = 446,5 Н. Кожен робот масою 40 кг пристикований до довгої сторони й штовхає щонайбільше з силою min(150 Н, μ_w·m_r·g) = 104,2 Н при μ_w = 0,7, тож ceil(μ·m·g/F_max) = 5 роботів потрібні на Марсі й на Місяці — тяга спадає з g так само, як тертя, — і 8 на Землі, де обмежують мотори. Шлях іде 6 м прямо, через поворот на чверть кола радіусом 3,5 м і ще 5 м зі швидкістю 0,25 м/с і прискоренням 0,1 м/с². Команда має спільний ПІД-гвинт сил за похибкою положення (потрійний полюс на 1,2 рад/с) плюс відоме тертя підлоги як пряме керування; кожен робот бере частку з мінімальною нормою f_i = F/n + ((τ − c×F)/J)·rot90(r_i − c) серед роботів, яких команда вважає активними, і всі частки зменшуються разом, коли одна перевищила б свою межу. Несправний робот одразу перестає штовхати; інші дізнаються про це після затримки виявлення. Одиночний штовхач в’їжджає в довгу сторону порожнього ящика масою 80 кг зі швидкістю 0,1 м/с: квазістатично ящик повертається навколо точки на своїй довгій осі, де рівнодійна тертя однорідного прямокутника — замкнені інтеграли ρ і w/ρ по ньому — лежить на лінії штовхача. Рух просувається неявним методом середньої точки, методом Ньютона на опуклому дисипативному потенціалі, із силами роботів, утримуваними на кожному кроці керування 10 мс, тому робота роботів дорівнює теплу тертя плюс кінетична енергія з точністю до округлення.
Що спробувати
Дивіться, як шість роботів порівну ділять навантаження на прямій і заносять ящик у відсік; вимкніть робота й стежте за розворотом і новими частками; спробуйте чотирьох роботів або Землю; виберіть одиночного штовхача й порівняйте центр обертання із замкненою формулою; змістіть точку штовхання.
Модель та її обмеження
Жорсткий ящик на пласкій жорсткій підлозі з рівномірним тиском і кулоновим тертям, згладженим нижче 2 мм/с, — тож ящик, утримуваний нижче порогу, повзе зі швидкістю ε·f/√(1 − f²) замість того, щоб стояти; роботи — ідеальні джерела сили в точках стикування (їхню власну масу й кочення несуть їхні власні приводи), ідеальна спільна локалізація й миттєвий консенсус, крім затримки виявлення несправності; без податливості захватів, без проковзування коліс робота по підлозі понад межу його сили.
Рівняння модуля
Рівняння F_fr = −Σ μ·p·ΔA·u_c/√(|u_c|² + ε²), u_c = V + Ω×r_c, pure translation: |F_fr| = μ·m·g·v/√(v² + ε²) f_i = F/n + ((τ − c×F)/J)·rot90(r_i − c), J = Σ|r_i − c|², |f_i| ≤ min(F_motor, μ_w·m_r·g) n ≥ μ·m·g/F_max, below it: v_creep = ε·f/√(1 − f²), f = n·F_max/(μ·m·g) e = ∫ρ dA/∫(w/ρ) dA + c, F_push = μ·p·∫(w/ρ) dA, W_robots = Q_friction + E_k
