Engineering
Drone con carico sospeso
Porta in volo un pacco lungo una via di periferia in una sera d’estate: un quadricottero decolla dalla piazzola sul tetto del deposito, attraversa i giardini contro un vento contrario a raffiche, frena sopra l’ultima casa, cala il pacco con il verricello sul tappetino di consegna e rientra. Ogni rotore richiede in hovering la potenza della teoria della quantità di moto T^1.5/sqrt(2ρA); in volo traslato la potenza indotta cala, la resistenza delle pale e della fusoliera cresce, e la curva di potenza in formula chiusa dà le velocità di massima autonomia oraria e di massima autonomia di distanza. Frena di colpo e il pacco oscilla come un pendolo di periodo 2π sqrt(L/g); attiva l’antioscillazione e il controllore segue l’oscillazione finché si spegne. Tieni il drone in un vento costante ed è in volo traslato attraverso l’aria - la sua inclinazione, l’angolo di scia del pacco e la potenza eguagliano le loro formule chiuse - e ogni joule prelevato dalla batteria è seguito fino alla scia dei rotori, alle pale, alla resistenza, alla quota e al verricello.
Cosa succede
Un quadricottero da 2,6 kg con quattro rotori di 0,19 m di raggio porta un pacco da 1 kg nel piano verticale dei giardini (x, quota, beccheggio). Ogni rotore di spinta T richiede la potenza indotta κ·T·v_i con κ = 1.15 e il flusso indotto di Glauert in volo livellato v_i² = v_h^4/(V²/2 + sqrt(V^4/4 + v_h^4)), v_h² = T/(2ρA) - in hovering T^1.5/sqrt(2ρA), 50,3 W ideali per rotore - più la potenza di profilo (σ·Cd0/8)·ρ·A·(ΩR)³·(1 + 4.65μ²) con σ = 0.08, Cd0 = 0.012 alla velocità di estremità pala che la sua spinta richiede (C_T = 0.008, circa 90 m/s); il resto della potenza all’albero è il lavoro proprio della spinta attraverso l’aria. Resistenza di fusoliera e pacco ½ρ·f·V² con 0,035 e 0,045 m². La curva di volo livellato in formula chiusa P(V), T = sqrt(W² + D²), dà 279 W in hovering, la velocità di massima autonomia oraria 8,7 m/s e quella di massima autonomia di distanza 13,1 m/s. Il controllore: un profilo di rotta che frena con la decelerazione impostata, un anello di velocità PI, il tiro misurato del cavo in anticipo, il vettore spinta limitato a 29° d’inclinazione, un anello d’assetto PD a 20 rad/s, la ripartizione tra i rotori entro 0,5–22 N; l’antioscillazione inclina il riferimento di velocità verso l’oscillazione del pacco, e la mira tiene il drone sopravvento secondo la scia stazionaria del pacco. Il pacco pende da un cavo unilaterale tenuto dalla sua forza vincolare esatta con stabilizzazione di Baumgarte; il verricello svolge a 0,7 m/s sopra il tappetino, il gancio si sgancia al contatto, localizzato all’interno del passo. Le forze sono mantenute su sottopassi di 2 ms con velocità di Euler e posizioni trapezoidali, così che il lavoro di ogni forza è esattamente F·dx: batteria = calore del motore (rendimento 78 %) + indotta + profilo + parassita + quota + moto + freno del verricello − scambio col vento + contatti, a meno degli arrotondamenti. Batteria da 22,2 V, 5 Ah, riserva del 20 %.
Da provare
Guarda la consegna e leggi la potenza in hovering e le due velocità migliori; passa all’hovering, imposta una lunghezza del cavo e un’oscillazione iniziale e confronta il periodo con 2π sqrt(L/g); disattiva l’antioscillazione e frena di colpo; aumenta il vento e le raffiche e osserva gli errori di mantenimento e di atterraggio e la batteria.
Il modello e i suoi limiti
Un quadricottero piano (x, quota, beccheggio) con rotori della teoria della quantità di moto: flusso indotto di Glauert in volo livellato dall’intera velocità all’aria, nessuno stato di anello vorticoso, nessuna inerzia dei rotori né ritardo dei motori, resistenza di profilo da un solo coefficiente di resistenza della pala; un pacco puntiforme su un cavo unilaterale inestensibile fissato al baricentro; vento uniforme con raffiche a due seni, niente scie di case o alberi; la batteria come serbatoio di energia a rendimento costante, senza caduta di tensione né effetto Peukert. Una via a grandezza reale; un vero giro di consegne è lungo chilometri, perciò la lettura dell’autonomia estrapola la curva di potenza.
Equazioni del modulo
Equazioni P_i = κ·T·v_i, v_i² = v_h^4/(V²/2 + √(V^4/4 + v_h^4)), v_h² = T/(2ρA), hover: P = T^1.5/√(2ρA) P(V) = κ·T·v_i + 4·(σ·C_d0/8)·ρ·A·(ΩR)³·(1 + 4.65·μ²) + D·V, T = √(W² + D²), D = ½·ρ·f·V² L·d²φ/dt² = −g·sin φ − a_n, T_0 = 2π·√(L/g)·(1 + φ0²/16), tan φ_wind = D_p/(m_p·g) E_batt = Q_motor + W_i + W_0 + W_par + ΔE_k + ΔE_p + W_brake − W_wind + E_touch
