Math
Un test et une maladie
Dix mille personnes, une maladie et un test : le test parcourt la population et marque les positifs, puis chacun rejoint sa case d'un tableau 2×2 - malade ou sain contre positif ou négatif. Devine quelle part des positifs est vraiment malade, puis regarde le plateau : pour une maladie rare, les faux sont dix fois plus nombreux que les vrais. La règle de Bayes avec les nombres de cette feuille, le facteur que tu bouges mis en évidence, les positifs retestés, et une tâche qui montre que le levier est la spécificité, pas la sensibilité.
Ce qui se passe
Dix mille personnes sur un carré. Une maladie a une prévalence : un sur mille, disons. Un test a une sensibilité, la fréquence à laquelle il dit oui à un malade, et une spécificité, la fréquence à laquelle il dit non à un bien-portant. Toutes deux à 99 %. Les malades sont ambre dès le départ ; tu les vois, le test non. Le test balaie le carré ligne par ligne et allume les positifs : ambre là où il a attrapé un malade, rouge là où il a signalé un bien-portant. Avec dix malades sur le carré et dix mille bien-portants, 1 % des bien-portants font cent : un positif signifie donc malade environ une fois sur onze. C'est la règle de Bayes, et le carré est la règle dessinée : PPV = ps / (ps + (1 − p)(1 − q)). Glisse sur le carré et la prévalence balaie en échelle logarithmique ; le graphe est la valeur d'un positif selon la prévalence. Reteste les positifs et la dernière réponse devient le nouvel a priori : 9 % devient 91 % puis 99,9 %. La tâche : à une prévalence de 0,1 %, rendre un positif aussi bon qu'une pièce sans toucher à la prévalence. La sensibilité n'y arrive pas même à 100 % ; la spécificité y arrive à 99,90 %, parce que les faux positifs viennent des bien-portants, et il y en a mille pour chaque malade.
Équations du module
Équations carré : N = 10 000 personnes, prévalence p ; malades = pN, sains = (1 − p)N test : sensibilité s = P(positif | malade), spécificité q = P(négatif | sain) ; vrais positifs s·pN, faux positifs (1 − q)(1 − p)N, manqués (1 − s)pN valeur d'un test positif (Bayes) : PPV = ps / (ps + (1 − p)(1 − q)) ; rare (p = 0.1 %, s = q = 99 %) : 9.0 % ; courant (p = 10 %) : 91.7 % ; dépistage (p = 1 %, s = 80 %, q = 90 %) : 7.5 % second test : les positifs sont testés à nouveau, a priori = le dernier PPV ; rare → 9.0 % → 90.7 % → 99.9 % le carré échantillonné : un tirage pour la maladie et un pour le test par personne avec le xorshift commun (graine 1) ; rare : 13 malades, 13 vrais et 95 faux positifs (12.0 % dans ce tirage, 9.0 % exact) ; courant : 1025 / 1018 / 88 ; dépistage : 101 / 80 / 985 le levier : pour p = 0.1 %, s = 99 % un pile ou face (PPV 50 %) exige 1 − q = ps(1 − 0.5)/(0.5(1 − p)), q = 99.90 % ; s = 100 % seule donne 9.1 %
