Math
Тест і хвороба
Десять тисяч людей, хвороба й тест: тест проходить населення й позначає позитивних, потім усі розходяться по таблиці 2×2 — хворий чи здоровий проти позитивної чи негативної відповіді. Вгадай, яка частка позитивних справді хвора, і подивися на лоток: за рідкісної хвороби хибних у десять разів більше, ніж справжніх. Правило Баєса з числами цього аркуша, підсвічений множник, який ти рухаєш, повторна перевірка позитивних і задача, що показує: важіль — специфічність, а не чутливість.
Що відбувається
Десять тисяч людей на квадраті. У хвороби є поширеність: скажімо, один на тисячу. У тесту — чутливість (як часто він каже «так» хворому) і специфічність (як часто «ні» здоровому). Обидві 99 %. Хворі від початку бурштинові: ти їх бачиш, тест — ні. Тест проходить квадратом рядок за рядком і запалює позитивних: бурштиновим — де спіймав хворого, червоним — де позначив здорового. При десяти хворих на квадраті й десяти тисячах здорових 1 % здорових — це сотня, тож позитивний результат означає хворобу приблизно раз на одинадцять. Це правило Баєса, і квадрат — це воно, намальоване: PPV = ps / (ps + (1 − p)(1 − q)). Тягни по квадрату — поширеність пливе за логарифмом; графік — ціна позитивного результату від поширеності. Протестуй позитивних знову — остання відповідь стає новою апріорною ймовірністю: 9 % → 91 % → 99,9 %. Задача: за поширеності 0,1 % зробити позитивний результат рівним монетці, не чіпаючи поширеність. Чутливість не впорається навіть за 100 %; специфічність впорається за 99,90 %, бо хибні позитивні приходять від здорових, а їх тисяча на кожного хворого.
Рівняння модуля
Рівняння квадрат: N = 10 000 людей, поширеність p; хворі = pN, здорові = (1 − p)N тест: чутливість s = P(позитивний | хворий), специфічність q = P(негативний | здоровий); істинно позитивні s·pN, хибно позитивні (1 − q)(1 − p)N, пропущені (1 − s)pN цінність позитивного результату (Байєс): PPV = ps / (ps + (1 − p)(1 − q)); рідкісна (p = 0.1 %, s = q = 99 %): 9.0 %; поширена (p = 10 %): 91.7 %; скринінг (p = 1 %, s = 80 %, q = 90 %): 7.5 % повторний тест: позитивні перевіряються ще раз, апріорна ймовірність = останній PPV; рідкісна → 9.0 % → 90.7 % → 99.9 % квадрат із вибіркою: по одному розіграшу на хворобу й на тест для кожної людини через спільний xorshift (зерно 1); рідкісна: 13 хворих, 13 істинно й 95 хибно позитивних (12.0 % у цьому розіграші, 9.0 % точно); поширена: 1025 / 1018 / 88; скринінг: 101 / 80 / 985 важіль: при p = 0.1 %, s = 99 % підкидання монети (PPV 50 %) вимагає 1 − q = ps(1 − 0.5)/(0.5(1 − p)), q = 99.90 %; самі лише s = 100 % дають 9.1 %
