Math
Un test e una malattia
Diecimila persone, una malattia e un test: il test percorre la popolazione e segna i positivi, poi ognuno va nella sua casella di una tabella 2×2, malato o sano contro positivo o negativo. Indovina quale quota dei positivi è davvero malata e guarda il vassoio: per una malattia rara i falsi sono dieci volte i veri. La regola di Bayes con i numeri di questo foglio, il fattore che muovi evidenziato, i positivi ritestati e un compito che mostra che la leva è la specificità, non la sensibilità.
Cosa succede
Diecimila persone su un quadrato. Una malattia ha una prevalenza: uno su mille, diciamo. Un test ha una sensibilità, quanto spesso dice sì a un malato, e una specificità, quanto spesso dice no a un sano. Entrambe al 99 %. I malati sono ambra dall'inizio; tu li vedi, il test no. Il test scorre il quadrato riga per riga e accende i positivi: ambra dove ha preso un malato, rosso dove ha segnalato un sano. Con dieci malati sul quadrato e diecimila sani, l'1 % dei sani sono cento, quindi un positivo significa malato circa una volta su undici. È la regola di Bayes, e il quadrato è la regola disegnata: PPV = ps / (ps + (1 − p)(1 − q)). Trascina sul quadrato e la prevalenza scorre in scala logaritmica; il grafico è il valore di un positivo contro la prevalenza. Ritesta i positivi e l'ultima risposta diventa la nuova a priori: il 9 % diventa 91 % e poi 99,9 %. Il compito: a una prevalenza dello 0,1 %, rendi un positivo buono come una moneta senza toccare la prevalenza. La sensibilità non ce la fa nemmeno al 100 %; la specificità sì, al 99,90 %, perché i falsi positivi vengono dai sani, e ce ne sono mille per ogni malato.
Equazioni del modulo
Equazioni quadrato: N = 10 000 persone, prevalenza p; malati = pN, sani = (1 − p)N test: sensibilità s = P(positivo | malato), specificità q = P(negativo | sano); veri positivi s·pN, falsi positivi (1 − q)(1 − p)N, mancati (1 − s)pN valore di un positivo (Bayes): PPV = ps / (ps + (1 − p)(1 − q)); raro (p = 0.1 %, s = q = 99 %): 9.0 %; comune (p = 10 %): 91.7 %; controllo di massa (p = 1 %, s = 80 %, q = 90 %): 7.5 % nuovo test: i positivi testati di nuovo, probabilità a priori = l'ultimo PPV; raro → 9.0 % → 90.7 % → 99.9 % il quadrato campionato: un'estrazione per la malattia e una per il test per ogni persona tramite lo xorshift condiviso (seme 1); raro: 13 malati, 13 veri e 95 falsi positivi (12.0 % in questa estrazione, 9.0 % esatto); comune: 1025 / 1018 / 88; controllo di massa: 101 / 80 / 985 la leva: con p = 0.1 %, s = 99 % un testa o croce (PPV 50 %) richiede 1 − q = ps(1 − 0.5)/(0.5(1 − p)), q = 99.90 %; s = 100 % da sola dà 9.1 %
