Math
Radici in movimento
Le radici di un polinomio nel piano complesso, che corrono mentre un coefficiente scorre: le due radici della cubica si incontrano al discriminante e lasciano l'asse reale in coppia, sei radici girano su un cerchio, e le dieci radici di Wilkinson sono scagliate nel piano da due parti per milione su un coefficiente; la coppia più vicina, il numero di reali e il limite di Cauchy misurati in diretta, e un compito sulla collisione.
Cosa succede
Un polinomio di grado n ha n radici nel piano complesso, sempre, è il teorema fondamentale dell'algebra, e si muovono con continuità quando si muove un coefficiente. Qui un coefficiente t scorre da solo da quando il modulo si apre, e le radici corrono sul piano lasciando scie. Per x³ − 3x + t le tre radici partono da −√3, 0 e √3; crescendo t, due di loro scivolano l'una verso l'altra lungo l'asse reale, si incontrano a t = 2, dove il discriminante 108 − 27t² è zero, e lasciano l'asse insieme come coppia coniugata, immagini speculari sopra e sotto: i coefficienti sono reali, e una radice complessa non viaggia mai da sola. Trascina sul piano per far scorrere t a mano. La quartica x⁴ − 5x² + t lo fa due volte; z⁶ − t tiene sei radici su un cerchio di raggio la radice sesta di t. E il polinomio di Wilkinson, (x − 1)(x − 2)…(x − 10), è il motivo per cui gli analisti numerici perdono il sonno: le sue radici sono 1…10, il coefficiente di x⁹ è −55, e spingere quel coefficiente di un decimillesimo, due parti per milione, scaglia le radici fuori dalla retta reale di più di mezza unità. Il cerchio pallido è il limite di Cauchy: nessuna radice lo lascia mai. Le radici si trovano con l'iterazione di Aberth e si verificano contro un risolutore indipendente.
Equazioni del modulo
Equazioni cubica: x³ − 3x + t; discriminante 108 − 27t²; t = 0: −√3, 0, √3; t = 2: −2 e una radice doppia in 1; t = 3: −2.1038 e 1.0519 ± 0.5652i; per |t| < 2 tre radici reali, oltre una coppia coniugata in 1 ± i√((t − 2)/3) vicino a t = 2 quartica: x⁴ − 5x² + t; x² = (5 ± √(25 − 4t))/2; t = 0: 0, 0, ±√5; t = 4: ±1, ±2; t = 6.25: ±1.5811 due volte cerchio: z⁶ − t; sei radici sul raggio |t|^(1/6), ruotate di 30° quando t < 0 Wilkinson: (x − 1)(x − 2)…(x − 10) + εx⁹, ε = t·10^−5; x⁹ porta −55, il termine costante è 10! = 3 628 800; ε = 10^−6 sposta una radice di 0.013; ε = 10^−4 (due parti su un milione di −55) rende complesse le radici, |Im| fino a 0.675, spostamenti fino a 0.90 risolutore: Aberth–Ehrlich da 0.9 della circonferenza di Cauchy, avviato a caldo dall'ultimo fotogramma così che ogni radice conservi la sua scia; verificato con numpy.roots fino a 10^−6 nel gemello Cauchy: ogni radice ha |z| ≤ 1 + max|a_i|/|a_n| obiettivo: portare due radici della cubica entro 0.2: |t − 2| < 0.03 (la coppia sta in 1 ± √(|t − 2|/3)); 1.98 dà 0.163, 1.95 dà 0.259 laboratorio: le radici trascinate sul piano diventano coefficienti tramite Viète - Π(x − r_k) sviluppato, coniugate mantenute, una radice entro 0.03 dall'asse viene agganciata ad esso; Σ r_k = −a_(n−1)/a_n, Π r_k = (−1)^n·a₀/a_n residuo e soglia: |p(z)| contro 2n·ε·Σ|a_i||z|^i, l'errore di arrotondamento di Horner in z; nella radice reale di x³ − 3x + 3: 8.9·10^−16 sotto una soglia di 2.5·10^−14; nella radice 10 di Wilkinson la soglia è 0.003 sensibilità: |∂z/∂a_k| = |z|^k / |p′(z)|; Wilkinson: la radice 10 si sposta di 10⁹/9! = 2755.7 per unità di a₉, la radice 1 si sposta di 2.8·10^−6; condizionamento Σ|a_i||z|^i / (|z||p′(z)|) = 184756 = C(20, 10) in 10, 110 in 1 multiple: un gruppo entro 10^−3 viene segnalato come tale; in x³ − 3x + 2 la coppia in 1 ha |p′| = 1.1·10^−9 - una radice doppia è infinitamente sensibile
