Math
Wurzeln in Bewegung
Die Wurzeln eines Polynoms in der komplexen Ebene, laufend, während ein Koeffizient gleitet: die zwei Wurzeln der Kubik treffen sich an der Diskriminante und verlassen die reelle Achse als Paar, sechs Wurzeln drehen sich auf einem Kreis, und Wilkinsons zehn Wurzeln werden von zwei Millionsteln eines Koeffizienten in die Ebene geschleudert - das engste Paar, die Zahl der reellen und Cauchys Schranke live gemessen, und eine Aufgabe zum Zusammenstoß.
Was passiert
Ein Polynom vom Grad n hat n Wurzeln in der komplexen Ebene, immer - das ist der Fundamentalsatz der Algebra -, und sie bewegen sich stetig, wenn ein Koeffizient sich bewegt. Hier gleitet ein Koeffizient t von selbst, sobald das Modul öffnet, und die Wurzeln laufen über die Ebene und ziehen Spuren. Bei x³ − 3x + t starten die drei Wurzeln bei −√3, 0 und √3; mit wachsendem t rutschen zwei davon auf der reellen Achse aufeinander zu, treffen sich bei t = 2, wo die Diskriminante 108 − 27t² null ist, und verlassen die Achse gemeinsam als konjugiertes Paar, Spiegelbilder oben und unten - denn die Koeffizienten sind reell, und eine komplexe Wurzel reist nie allein. Ziehen Sie über die Ebene, um t von Hand zu führen. Die Quartik x⁴ − 5x² + t tut es zweimal; z⁶ − t hält sechs Wurzeln auf einem Kreis, dessen Radius die sechste Wurzel aus t ist. Und Wilkinsons Polynom, (x − 1)(x − 2)…(x − 10), ist der Grund, warum Numeriker schlecht schlafen: seine Wurzeln sind 1 bis 10, sein x⁹-Koeffizient ist −55, und ein Stups von einem Zehntausendstel an diesem Koeffizienten - zwei Millionstel - wirft die Wurzeln um mehr als eine halbe Einheit von der reellen Geraden. Der blasse Kreis ist Cauchys Schranke: keine Wurzel verlässt ihn je. Die Wurzeln werden mit Aberths Iteration gefunden und gegen einen unabhängigen Löser geprüft.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen kubisch: x³ − 3x + t; Diskriminante 108 − 27t²; t = 0: −√3, 0, √3; t = 2: −2 und eine Doppelwurzel bei 1; t = 3: −2.1038 und 1.0519 ± 0.5652i; für |t| < 2 drei reelle Wurzeln, darüber hinaus ein konjugiertes Paar bei 1 ± i√((t − 2)/3) nahe t = 2 quartisch: x⁴ − 5x² + t; x² = (5 ± √(25 − 4t))/2; t = 0: 0, 0, ±√5; t = 4: ±1, ±2; t = 6.25: ±1.5811 zweifach Kreis: z⁶ − t; sechs Wurzeln auf dem Radius |t|^(1/6), um 30° gedreht, wenn t < 0 Wilkinson: (x − 1)(x − 2)…(x − 10) + εx⁹, ε = t·10^−5; x⁹ trägt −55, die Konstante ist 10! = 3 628 800; ε = 10^−6 verschiebt eine Wurzel um 0.013; ε = 10^−4 (zwei Millionstel von −55) macht Wurzeln komplex, |Im| bis zu 0.675, Verschiebungen bis zu 0.90 Löser: Aberth–Ehrlich ab 0.9 des Cauchy-Kreises, vom letzten Bild aus warm gestartet, damit jede Wurzel ihre Spur behält; im Zwilling gegen numpy.roots bis auf 10^−6 geprüft Cauchy: jede Wurzel hat |z| ≤ 1 + max|a_i|/|a_n| Aufgabe: zwei Wurzeln der kubischen Gleichung auf 0.2 aneinander bringen: |t − 2| < 0.03 (das Paar liegt bei 1 ± √(|t − 2|/3)); 1.98 ergibt 0.163, 1.95 ergibt 0.259 Werkstatt: in der Ebene gezogene Wurzeln werden nach Vieta zu Koeffizienten - Π(x − r_k) ausmultipliziert, Konjugierte beibehalten, eine Wurzel innerhalb von 0.03 der Achse rastet auf ihr ein; Σ r_k = −a_(n−1)/a_n, Π r_k = (−1)^n·a₀/a_n Residuum und Untergrenze: |p(z)| gegen 2n·ε·Σ|a_i||z|^i, den Rundungsfehler von Horner bei z; bei der reellen Wurzel von x³ − 3x + 3: 8.9·10^−16 unter einer Untergrenze von 2.5·10^−14; bei Wilkinsons Wurzel 10 ist die Untergrenze 0.003 Empfindlichkeit: |∂z/∂a_k| = |z|^k / |p′(z)|; Wilkinson: die Wurzel 10 bewegt sich um 10⁹/9! = 2755.7 pro Einheit von a₉, die Wurzel 1 um 2.8·10^−6; Kondition Σ|a_i||z|^i / (|z||p′(z)|) = 184756 = C(20, 10) bei 10, 110 bei 1 mehrfach: ein Cluster innerhalb von 10^−3 wird als solcher gemeldet; bei x³ − 3x + 2 hat das Paar bei 1 |p′| = 1.1·10^−9 - eine Doppelwurzel ist unendlich empfindlich
