Math
Корені в русі
Корені многочлена на комплексній площині, що біжать, поки пливе один коефіцієнт: два корені кубіки зустрічаються на дискримінанті й сходять з дійсної осі парою, шість коренів крутяться на колі, а десять коренів Вілкінсона вилітають у площину від двох мільйонних часток одного коефіцієнта — найближча пара, кількість дійсних і межа Коші вимірюються наживо, і задача про зіткнення.
Що відбувається
У многочлена степеня n завжди n коренів на комплексній площині — це основна теорема алгебри, — і вони рухаються неперервно, коли рухається коефіцієнт. Тут один коефіцієнт t пливе сам з моменту відкриття модуля, і корені біжать площиною, лишаючи сліди. У x³ − 3x + t три корені стартують у −√3, 0 і √3; зі зростанням t два з них ковзають назустріч дійсною віссю, зустрічаються при t = 2, де дискримінант 108 − 27t² дорівнює нулю, і разом сходять з осі спряженою парою, дзеркально зверху й знизу — коефіцієнти дійсні, і комплексний корінь ніколи не мандрує сам. Тягни по площині — t рухається рукою. Квартика x⁴ − 5x² + t робить це двічі; z⁶ − t тримає шість коренів на колі радіуса корінь шостого степеня з t. А многочлен Вілкінсона, (x − 1)(x − 2)…(x − 10), — причина безсоння обчислювачів: його корені 1…10, коефіцієнт при x⁹ дорівнює −55, і зсув цього коефіцієнта на одну десятитисячну — дві мільйонні частки — викидає корені з дійсної прямої більш ніж на пів одиниці. Бліде коло — межа Коші: жоден корінь її не полишає. Корені шукаються ітерацією Аберта і звірені з незалежним розв'язувачем.
Рівняння модуля
Рівняння кубічний: x³ − 3x + t; дискримінант 108 − 27t²; t = 0: −√3, 0, √3; t = 2: −2 і подвійний корінь у 1; t = 3: −2.1038 і 1.0519 ± 0.5652i; для |t| < 2 три дійсні корені, за межами - спряжена пара 1 ± i√((t − 2)/3) біля t = 2 четвертого степеня: x⁴ − 5x² + t; x² = (5 ± √(25 − 4t))/2; t = 0: 0, 0, ±√5; t = 4: ±1, ±2; t = 6.25: ±1.5811 двічі коло: z⁶ − t; шість коренів на радіусі |t|^(1/6), повернуті на 30° при t < 0 Вілкінсон: (x − 1)(x − 2)…(x − 10) + εx⁹, ε = t·10^−5; x⁹ має коефіцієнт −55, вільний член 10! = 3 628 800; ε = 10^−6 зсуває корінь на 0.013; ε = 10^−4 (дві мільйонні частки від −55) робить корені комплексними, |Im| до 0.675, зсуви до 0.90 розв'язувач: Аберт–Ерліх від 0.9 кола Коші, з теплим стартом від останнього кадру, щоб кожен корінь зберігав свій слід; звірено з numpy.roots до 10^−6 у двійнику Коші: кожен корінь задовольняє |z| ≤ 1 + max|a_i|/|a_n| завдання: зблизити два корені кубічного многочлена до відстані 0.2: |t − 2| < 0.03 (пара лежить у 1 ± √(|t − 2|/3)); 1.98 дає 0.163, 1.95 дає 0.259 майстерня: корені, перетягнуті на площині, стають коефіцієнтами за Вієтом - Π(x − r_k) розкривається, спряжені зберігаються, корінь у межах 0.03 від осі прилипає до неї; Σ r_k = −a_(n−1)/a_n, Π r_k = (−1)^n·a₀/a_n нев'язка й поріг: |p(z)| проти 2n·ε·Σ|a_i||z|^i, похибки округлення Горнера в z; у дійсному корені x³ − 3x + 3: 8.9·10^−16 під порогом 2.5·10^−14; у корені Вілкінсона 10 поріг дорівнює 0.003 чутливість: |∂z/∂a_k| = |z|^k / |p′(z)|; Вілкінсон: корінь 10 зсувається на 10⁹/9! = 2755.7 на одиницю a₉, корінь 1 зсувається на 2.8·10^−6; число обумовленості Σ|a_i||z|^i / (|z||p′(z)|) = 184756 = C(20, 10) у 10, 110 у 1 кратні: скупчення в межах 10^−3 повідомляється як таке; для x³ − 3x + 2 пара в 1 має |p′| = 1.1·10^−9 - подвійний корінь нескінченно чутливий
