Math
Басейни методу Ньютона
Розфарбуй кожну стартову точку за коренем, до якого приходить метод Ньютона: при двох коренях межа — пряма, як довів Кейлі 1879 року, при трьох — фрактал, що належить усім трьом басейнам одразу. Потягни корінь і дивись, як рухаються площі: корінь, відтягнутий назовні, забирає МЕНШЕ вікна, а не більше.
Що відбувається
Метод Ньютона: почни будь-де, ітеруй z ← z − p(z)/p′(z), і впадеш в один із коренів. Розфарбуй кожну стартову точку за коренем, до якого вона приходить, і площина поділиться на басейни. При ДВОХ коренях картина нудна, і Кейлі довів це 1879 року: межа — серединний перпендикуляр відрізка між ними, пряма і нічого більше; на сітці 600 × 600 жодна точка не пішла не на той бік. При ТРЬОХ Кейлі не впорався, і знадобилося століття, щоб зрозуміти чому. Межа — фрактал, і три басейни не зустрічаються попарно вздовж парканів: у них ОДНА спільна межа. Це вимірюване: частка комірок межі, що бачать усі три кольори, тримається близько 0,60 і НЕ падає при подрібненні сітки з 300 до 900 — при попарних межах вона падала б як 1/n. Площі теж варто дивитися: на диску, який поділяє 120-градусну симетрію, кожен басейн займає рівно третину; на квадратному вікні — ні, бо кути дістаються тому кореню, який у них дивиться, і це властивість вікна, а не методу. Відтягни корінь назовні — його власний басейн ЗМЕНШИТЬСЯ. Темні нитки — там, де метод відмовляє зовсім: у початку координат похідна обертається на нуль.
Рівняння модуля
Рівняння Ньютон: z ← z − a·p(z)/p′(z), p(z) = добуток (z − r_i); a = 1 є методом Ньютона, а біля простого кореня похибка множиться на |1 − a| за крок два корені (Келі 1879): межа є серединним перпендикуляром до відрізка, що їх сполучає - прямою лінією; сітка 600 × 600, 0 точок з хибного боку, 0 не збіглися три корені: межа є фракталом, спільним для ВСІХ басейнів (Вада); прикордонні клітинки, що бачать усі три кольори: 0.6194 при 300², 0.5959 при 600², 0.5972 при 900² - стала, тоді як попарні межі спадали б як 1/n площі: на КРУЗІ (який має ту саму симетрію 120°) по 0.3333; на квадраті 0.3531 / 0.3234 / 0.3234 - річ у кутах, а не в методі перетягування: корінь, витягнутий до 1.8, займає 0.1819 вікна, тоді як два залишені займають по 0.4091 - назовні означає МЕНШЕ клітинкова розмірність межі: ≈ 1.50, виміряна на сітці 900² для області [−2, 2]², оцінки для кожного розміру клітинки 1.53 … 1.58 ітерації: середнє 6.84, найгірше 38, 8 точок зі 160 000 так і не збігаються; в початку координат p′ = 4.7e-16, і крок не визначений релаксація: a = 0.5 → 632 не збіглися з 90 000; a = 1 → 0; a = 1.5 → 200; a = 2 → усі 90 000, межовий випадок |1 − a| = 1
