Math
Bassins de la méthode de Newton
Colorez chaque point de départ selon la racine atteinte par la méthode de Newton : avec deux racines la frontière est une droite, comme Cayley l’a prouvé en 1879, et avec trois c’est une fractale que les trois bassins partagent. Tirez une racine et regardez les aires bouger — une racine tirée vers l’extérieur prend MOINS de la fenêtre, pas plus.
Ce qui se passe
Méthode de Newton : partez de n’importe où, itérez z ← z − p(z)/p′(z), et vous tombez dans l’une des racines. Colorez chaque point de départ par la racine atteinte et le plan se divise en bassins. Avec DEUX racines l’image est terne, et Cayley l’a prouvé en 1879 : la frontière est la médiatrice du segment qui les joint, une droite et rien d’autre — sur une grille 600 × 600 pas un point ne tombe du mauvais côté. Avec TROIS Cayley a échoué, et il a fallu un siècle pour comprendre pourquoi. La frontière est une fractale, et les trois bassins ne se rencontrent pas deux à deux le long de clôtures : ils partagent UNE frontière. C’est mesurable : la part des cellules frontières qui voient les trois couleurs reste autour de 0,60 et NE tombe pas quand la grille passe de 300 à 900 — avec des frontières deux à deux elle chuterait comme 1/n. Les aires méritent aussi le regard : sur un disque, qui partage la symétrie à 120 degrés, chaque bassin prend exactement un tiers ; sur la fenêtre carrée non, car les coins appartiennent à la racine qui les vise — c’est la fenêtre, pas la méthode. Tirez une racine vers l’extérieur et son propre bassin RÉTRÉCIT. Les fils sombres sont là où la méthode échoue : à l’origine la dérivée s’annule.
Équations du module
Équations Newton : z ← z − a·p(z)/p′(z), p(z) = produit des (z − r_i) ; a = 1 est Newton, et près d'une racine simple l'erreur est multipliée par |1 − a| à chaque pas deux racines (Cayley 1879) : la frontière est la médiatrice du segment qui les joint - une droite ; grille 600 × 600, 0 point du mauvais côté, 0 non stabilisé trois racines : la frontière est une fractale commune à TOUS les bassins (Wada) ; cellules frontières voyant les trois couleurs : 0.6194 à 300², 0.5959 à 600², 0.5972 à 900² - constant, alors que des frontières deux à deux décroîtraient comme 1/n aires : sur un DISQUE (qui partage la symétrie de 120°) 0.3333 chacun ; sur le carré 0.3531 / 0.3234 / 0.3234 - les coins, pas la méthode déplacement : une racine tirée jusqu'à 1.8 occupe 0.1819 de la fenêtre tandis que les deux laissées derrière en occupent 0.4091 chacune - vers l'extérieur signifie MOINS dimension de la frontière par comptage de boîtes : ≈ 1.50 mesurée avec une grille 900² sur [−2, 2]², estimations par boîte 1.53 … 1.58 itérations : moyenne 6.84, pire 38, 8 points sur 160 000 ne se stabilisent jamais ; à l'origine p′ = 4.7e-16 et le pas est indéfini relaxation : a = 0.5 → 632 non stabilisés sur 90 000 ; a = 1 → 0 ; a = 1.5 → 200 ; a = 2 → tous les 90 000, le cas marginal |1 − a| = 1
