Math
La catastrophe de la fronce
Tirez un bouton et l’état glisse jusqu’à ce que sa branche s’épuise - puis il claque, et revenir en arrière ne l’annule pas. Tournez le second bouton au-dessus de la fronce et le claquement disparaît entièrement : la boucle d’hystérésis n’y est pas petite, elle est exactement nulle. Largeur 4·(−a/3)^(3/2), hauteur du saut 3·√(−a/3), vérifiables sur l’image.
Ce qui se passe
Une équation : x³ + a·x + b = 0. L’état est x, a et b sont deux boutons. Tirez b et l’état glisse doucement le long de sa branche - jusqu’à ce que la branche s’épuise et qu’il tombe sur l’autre. Revenez en arrière : il ne repasse pas par le même chemin, le saut a lieu ailleurs, et l’écart entre les deux est la boucle d’hystérésis. Elle mesure 4·(−a/3)^(3/2) - une loi de puissance trois demis - et le saut à la fronce vaut exactement 3·√(−a/3), car la branche en √(−a/3) rencontre celle en −2·√(−a/3). Aucun arrêt à mi-chemin : la branche du milieu, en rouge, est un MAXIMUM du potentiel V = x⁴/4 + a·x²/2 + b·x, et rien ne repose sur une crête. Regardez le potentiel en dessous : deux puits et une colline, et quand b bouge un puits remonte jusqu’à disparaître, emportant l’état. Maintenant l’AUTRE bouton : au-dessus de la fronce (a ≥ 0) il n’y a aucune boucle - pas une petite, exactement zéro, car l’aller et le retour tracent la même courbe. Même système, même geste, et le claquement est simplement absent.
Équations du module
Équations état : x³ + a·x + b = 0, issu du potentiel V = x⁴/4 + a·x²/2 + b·x branches : le discriminant 4a³ + 27b² décide - négatif, il y a trois racines réelles, positif, une seule, nul, c'est le pli où deux d'entre elles se rejoignent stabilité : V″ = 3x² + a ; les deux racines extérieures sont des minima, celle du milieu un MAXIMUM, ce qui explique que le saut n'ait pas d'étape intermédiaire plis : b = ±2·(−a/3)^(3/2), donc la boucle d'hystérésis a pour largeur 4·(−a/3)^(3/2) - une loi de puissance en trois demis saut : au pli la branche en √(−a/3) rencontre celle en −2·√(−a/3), donc l'état chute de 3·√(−a/3) au-dessus de la fronce : a ≥ 0 donne une seule branche pour tout b, aucun pli, et une largeur de boucle EXACTEMENT nulle mesuré : boucle 0.780 / 4.000 / 11.320 pour a = −1 / −3 / −6 contre 0.7698 / 4.0000 / 11.3137, sur une grille de balayage de 0.01
