Math
La catastrofe a cuspide
Trascina una manopola e lo stato scivola finché il suo ramo non finisce - poi scatta, e tornare indietro non lo annulla. Ruota la seconda manopola sopra la cuspide e lo scatto sparisce del tutto: il ciclo di isteresi lì non è piccolo, è esattamente zero. Larghezza 4·(−a/3)^(3/2), altezza del salto 3·√(−a/3), verificabili sull’immagine.
Cosa succede
Un’equazione: x³ + a·x + b = 0. Lo stato è x, a e b sono due manopole. Trascina b e lo stato scivola dolcemente lungo il suo ramo - finché il ramo finisce e cade sull’altro. Torna indietro: non ripercorre la stessa strada, il salto avviene altrove, e il divario fra i due è il ciclo di isteresi. È largo 4·(−a/3)^(3/2) - una legge di potenza tre mezzi - e il salto alla piega vale esattamente 3·√(−a/3), perché il ramo in √(−a/3) incontra quello in −2·√(−a/3). Non c’è sosta a metà: il ramo centrale, in rosso, è un MASSIMO del potenziale V = x⁴/4 + a·x²/2 + b·x, e nulla riposa su una cresta. Guarda il potenziale sotto: due buche e una collina, e al muoversi di b una buca sale finché sparisce, portandosi via lo stato. Ora l’ALTRA manopola: sopra la cuspide (a ≥ 0) non c’è ciclo alcuno - non uno piccolo, esattamente zero, perché andata e ritorno tracciano la stessa curva. Stesso sistema, stesso gesto, e lo scatto semplicemente non c’è.
Equazioni del modulo
Equazioni stato: x³ + a·x + b = 0, dal potenziale V = x⁴/4 + a·x²/2 + b·x rami: decide il discriminante 4a³ + 27b² - negativo dà tre radici reali, positivo una, zero è la piega dove due si scontrano stabilità: V″ = 3x² + a; le due radici esterne sono minimi, quella di mezzo un MASSIMO, ed è per questo che il salto non ha una via di mezzo pieghe: b = ±2·(−a/3)^(3/2), quindi il ciclo di isteresi è largo 4·(−a/3)^(3/2) - una legge di potenza con esponente tre mezzi salto: alla piega il ramo in √(−a/3) si scontra con quello in −2·√(−a/3), quindi lo stato cade di 3·√(−a/3) sopra la cuspide: a ≥ 0 dà un solo ramo per ogni b, nessuna piega, e un ciclo di larghezza ESATTAMENTE zero misurato: ciclo 0.780 / 4.000 / 11.320 per a = −1 / −3 / −6 contro 0.7698 / 4.0000 / 11.3137, su una griglia di scansione di 0.01
