Math
Curvatura e trasporto parallelo
Porta una freccia lungo un anello senza mai girarla, e torna girata. L'angolo è la curvatura che l'anello ha racchiuso - Gauss–Bonnet - ed è per questo che un pendolo di Foucault conosce la propria latitudine. Cerchi di latitudine, triangoli geodetici, un piano e una sella, ogni anello con la sua forma chiusa accanto alla rotazione misurata.
Cosa succede
Fai scorrere una freccia lungo una curva senza mai girarla nella superficie: è il trasporto parallelo, ed è una sola regola - muoversi, poi riappoggiare la freccia piatta sulla superficie. Su un foglio piano torna esattamente com'era partita. Su una sfera no. L'angolo di cui ha girato è l'olonomia, e Gauss–Bonnet dice che è uguale alla curvatura racchiusa dall'anello: per un cerchio di latitudine φ, 2π(1 − sin φ), l'area della calotta che circonda sulla sfera unitaria. Guarda la freccia viaggiare: lascia una copia di sé ogni pochi gradi, e quando torna a casa si posa accanto a un pallido fantasma di com'era partita. L'arco rosa fra le due è il numero. Una geodetica - un cerchio massimo - è una curva che non gira, quindi lungo di essa la freccia mantiene un angolo costante con il cammino, e un triangolo geodetico la gira esattamente del suo eccesso angolare: l'ottante con tre angoli retti dà π/2, tre nomi per un solo numero. La sella si piega nell'altro verso, la sua curvatura è negativa, e la stessa procedura riporta la freccia girata al contrario; il piano non ha nulla da racchiudere e non la gira affatto, a qualunque dimensione. Il numero è misurato due volte sulla stessa freccia: rispetto al riferimento di partenza, che vede la rotazione solo modulo 2π, e rispetto alla direzione di marcia, che tiene il conto - così l'equatore, che fa fare alla freccia un giro intero, si legge 2π e non nulla. Le due misure concordano a quattordici cifre. Il trasporto è del primo ordine, l'errore si dimezza a ogni raddoppio del passo, quindi la rotazione misurata manca la forma chiusa di qualche decimillesimo - è discretizzazione, non un difetto. La stessa formula pende nel Panthéon: un pendolo di Foucault alla latitudine φ gira di 2π·sin φ in un giorno siderale, e 2π(1 − sin φ) - l'olonomia - è ciò che resta.
Equazioni del modulo
Equazioni trasporto: si avanza lungo la curva, poi si proietta la freccia di nuovo sul piano tangente e si rinormalizza - non viene mai applicata alcuna rotazione Gauss–Bonnet: olonomia = ∫K dA sulla regione a sinistra della curva chiusa; ∫κ_g ds + Σ angoli esterni = 2π − ∫K dA parallelo di latitudine φ: 2π(1 − sin φ), l'area della calotta sulla sfera unitaria; l'equatore ruota la freccia di un intero 2π triangolo geodetico: eccesso E = 2·atan2(a·(b×c), 1 + a·b + b·c + c·a) = area; l'ottante con tre angoli retti dà π/2 sella z = (x² − y²)/2: K = −1/(1 + ρ²)², dA = √(1 + ρ²) ρ dρ dθ, quindi un cerchio di raggio r racchiude −2π(1 − 1/√(1 + r²)) piano: K = 0, olonomia 0 per ogni curva chiusa srotolato: ±2π (la rotazione propria del cammino) + Σ Δ(angolo della freccia rispetto al cammino); concorda con la lettura del sistema di riferimento modulo 2π entro 1e-14 convergenza: primo ordine - errore 8.22e-4 / 4.12e-4 / 2.06e-4 / 1.03e-4 / 5.16e-5 con 1250 / 2500 / 5000 / 10000 / 20000 passi, rapporto 2.00 Foucault: 2π·sin φ per giorno siderale; 2π·sin φ + 2π(1 − sin φ) = 2π; Panthéon 48.87°: 31.8 h per giro misurato (20 000 passi): 45°: 1.840354 contro 1.840302; sella r = 1: −1.840354 contro −1.840302; ottante: 1.570796327 esattamente
