Math
Curvatura y transporte paralelo
Lleva una flecha alrededor de un lazo sin girarla nunca, y vuelve girada. El ángulo es la curvatura que el lazo encerró - Gauss–Bonnet - y por eso un péndulo de Foucault conoce su latitud. Círculos de latitud, triángulos geodésicos, un plano y una silla de montar, cada lazo con su forma cerrada junto al giro medido.
Qué ocurre
Desliza una flecha a lo largo de una curva sin girarla nunca dentro de la superficie: eso es el transporte paralelo, y es una sola regla - moverse, y luego volver a apoyar la flecha plana sobre la superficie. En una hoja plana vuelve exactamente como salió. En una esfera no. El ángulo que ha girado es la holonomía, y Gauss–Bonnet dice que es igual a la curvatura que el lazo encerró: para un círculo de latitud φ, 2π(1 − sen φ), que es el área del casquete que rodea en la esfera unidad. Mira viajar la flecha: deja una copia de sí misma cada pocos grados, y cuando vuelve a casa se posa junto a un pálido fantasma de cómo partió. El arco rosa entre ambas es el número. Una geodésica - un círculo máximo - es una curva que no gira, así que a lo largo de ella la flecha mantiene un ángulo constante con el camino, y un triángulo geodésico la gira exactamente su exceso angular: el octante con tres ángulos rectos da π/2, tres nombres para un mismo número. La silla se curva al revés, su curvatura es negativa, y el mismo procedimiento devuelve la flecha girada en sentido contrario; el plano no tiene nada que encerrar y no la gira nada, a cualquier tamaño. El número se mide dos veces sobre la misma flecha: contra el sistema en que partió, que solo ve el giro módulo 2π, y contra la dirección de marcha, que lleva la cuenta - así el ecuador, que gira la flecha una vuelta completa, se lee como 2π y no como nada. Ambas coinciden hasta catorce cifras. El transporte es de primer orden, el error se reduce a la mitad con cada duplicación del paso, de modo que el giro medido falla la forma cerrada en unas diezmilésimas, y eso es discretización, no un defecto. La misma fórmula cuelga en el Panteón: un péndulo de Foucault a latitud φ gira 2π·sen φ en un día sidéreo, y 2π(1 − sen φ) - la holonomía - es lo que queda.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones transporte: avanzar un paso a lo largo de la curva, proyectar luego la flecha de nuevo sobre el plano tangente y renormalizar - nunca se aplica ninguna rotación Gauss–Bonnet: holonomía = ∫K dA sobre la región a la izquierda del lazo; ∫κ_g ds + Σ ángulos exteriores = 2π − ∫K dA círculo de latitud φ: 2π(1 − sin φ), el área del casquete sobre la esfera unidad; el ecuador gira la flecha una vuelta completa de 2π triángulo geodésico: exceso E = 2·atan2(a·(b×c), 1 + a·b + b·c + c·a) = área; el octante con tres ángulos rectos da π/2 silla de montar z = (x² − y²)/2: K = −1/(1 + ρ²)², dA = √(1 + ρ²) ρ dρ dθ, así que una circunferencia de radio r encierra −2π(1 − 1/√(1 + r²)) plano: K = 0, holonomía 0 para todo lazo desenrollado: ±2π (el giro propio del camino) + Σ Δ(ángulo de la flecha respecto al camino); coincide con la lectura del marco módulo 2π hasta 1e-14 convergencia: primer orden - error 8.22e-4 / 4.12e-4 / 2.06e-4 / 1.03e-4 / 5.16e-5 con 1250 / 2500 / 5000 / 10000 / 20000 pasos, razón 2.00 Foucault: 2π·sin φ por día sidéreo; 2π·sin φ + 2π(1 − sin φ) = 2π; Panteón 48.87°: 31.8 h por vuelta medido (20 000 pasos): 45°: 1.840354 frente a 1.840302; silla r = 1: −1.840354 frente a −1.840302; octante: 1.570796327 exactamente
