Math
Кривина і паралельне перенесення
Пронеси стрілку вздовж петлі, жодного разу її не повернувши, — і вона повернеться повернутою. Кут дорівнює кривині, яку петля обійшла, — це Гаусс–Бонне, і тому маятник Фуко знає свою широту. Кола широти, геодезичні трикутники, площина й сідло — у кожної петлі замкнена форма поряд із виміряним поворотом.
Що відбувається
Ковзай стрілкою вздовж кривої, ніколи не повертаючи її в поверхні: це паралельне перенесення, і воно — одне правило: зсунутися, а потім покласти стрілку назад плазом на поверхню. На плоскому аркуші вона повертається такою самою, якою пішла. На сфері — ні. Кут, на який вона повернулася, називається голономією, і Гаусс–Бонне каже, що він дорівнює кривині, яку петля обійняла: для кола широти φ це 2π(1 − sin φ) — площа шапки, яку воно оточує на одиничній сфері. Дивись, як стрілка йде: кожні кілька градусів вона лишає свою копію, а повернувшись додому, лягає поруч із блідим привидом того, якою вона вийшла. Рожева дуга між ними — це і є число. Геодезична (велике коло) — крива, яка не повертає, тож уздовж неї стрілка тримає сталий кут до шляху, і геодезичний трикутник повертає її рівно на свій кутовий надлишок: октант із трьома прямими кутами дає π/2 — три імені одного числа. Сідло гнеться в інший бік, його кривина від'ємна, і та сама процедура повертає стрілку повернутою у зворотний бік; площині нема чого обіймати, і вона не повертає стрілку зовсім, за будь-якого розміру. Число виміряно двічі від однієї стрілки: відносно репера, в якому вона вийшла, — він бачить поворот лише за модулем 2π, — і відносно напрямку руху, який веде лік; тому екватор, що повертає стрілку на повний оберт, читається як 2π, а не як ніщо. Обидва вимірювання збігаються до чотирнадцяти знаків. Перенесення першого порядку: похибка зменшується вдвічі при подвоєнні числа кроків, тож виміряний поворот відстає від замкненої форми на кілька десятитисячних — це дискретизація, а не дефект. Та сама формула висить у Пантеоні: маятник Фуко на широті φ повертається на 2π·sin φ за зоряну добу, а 2π(1 − sin φ) — голономія — те, що лишається.
Рівняння модуля
Рівняння перенесення: крок уздовж кривої, потім стрілка проєктується назад у дотичну площину й нормується заново - жодного повороту ніколи не застосовується Гаусс–Бонне: голономія = ∫K dA по області ліворуч від контуру; ∫κ_g ds + Σ зовнішніх кутів = 2π − ∫K dA коло широти φ: 2π(1 − sin φ), площа шапки на одиничній сфері; екватор повертає стрілку на повні 2π геодезичний трикутник: надлишок E = 2·atan2(a·(b×c), 1 + a·b + b·c + c·a) = площа; октант із трьома прямими кутами дає π/2 сідло z = (x² − y²)/2: K = −1/(1 + ρ²)², dA = √(1 + ρ²) ρ dρ dθ, тож коло радіуса r охоплює −2π(1 − 1/√(1 + r²)) площина: K = 0, голономія 0 для кожного контуру розгорнутий: ±2π (власний поворот шляху) + Σ Δ(кута стрілки до шляху); збігається зі зчитуванням репера за модулем 2π з точністю 1e-14 збіжність: перший порядок - похибка 8.22e-4 / 4.12e-4 / 2.06e-4 / 1.03e-4 / 5.16e-5 при 1250 / 2500 / 5000 / 10000 / 20000 кроках, відношення 2.00 Фуко: 2π·sin φ за зоряну добу; 2π·sin φ + 2π(1 − sin φ) = 2π; Пантеон 48.87°: 31.8 h на оберт виміряно (20 000 кроків): 45°: 1.840354 проти 1.840302; сідло r = 1: −1.840354 проти −1.840302; октант: 1.570796327 точно
