Math
Прості з нулів дзета-функції
Явна формула Рімана: сходи простих — це сума хвиль, по одній на кожен нуль дзета-функції. Додавай нулі по одному і дивись, як пряма брижами перетворюється на прості: кожна сходинка на степені простого і заввишки ln p. Унизу критична пряма, перші 120 нулів як дані, нев'язка з решетом виміряна на кожному нулі.
Що відбувається
Рахуй прості з вагою: ψ(x) Чебишова піднімається на ln p при кожному степені простого p, p², p³ — сходи, золоті, точні, з решета. Ріман виявив, що ті самі сходи — сума хвиль. Почни з голої прямої x − ln 2π; для кожного нуля ρ = ½ + iγ дзета-функції відніми хвилю 2√x·(cos(γ ln x)/2 + γ sin(γ ln x))/(¼ + γ²), і пряма нахилиться й піде брижами. Додай ще нулів — і брижі самі складуться в сходинки: рівно на степенях простих, кожна рівно ln p заввишки, бо формула не наближення, а тотожність: з усіма нулями вона І Є сходами. Дивись, як це стається. Сцена кладе нулі по одному, а найновішу хвилю малює окремо під графіком, щоб було видно, що вносить кожна: перший нуль, γ = 14,13, — найдовша й найповільніша брижа; сотий — дрібне тремтіння. Відстань блакитної лінії від сходів (RMS на 980 точках між стрибками) падає з 1,57 без нулів до 0,46 при ста двадцяти — повільно, бо кожна хвиля спадає лише як 1/γ, і ця повільність — найглибший факт на екрані: як близько прості лежать до гладкої лінії, вирішує те, де стоять нулі. Гіпотеза Рімана каже, що всі вони лежать на прямій ½ + it; нижня смуга малює цю пряму, Z(t), з нулями таблиці точками там, де вона змінює знак. Нулі взято з обчислення з двадцятьма знаками; лінію намальовано формулою Рімана–Зігеля, яку модуль звірив з істиною до сотої і так і каже. Скільки нулів до T? Ріман порахував і це: T/2π·ln(T/2πe) + 7/8 — 119,5 на сто двадцятому, похибка в половину, і ця половина — те, що нікому ще не скорилося.
Рівняння модуля
Рівняння
сходинки: ψ(x) = Σ_{p^k ≤ x} ln p (Чебишов; з решета до 400)
явна формула: ψ₀(x) = x − Σ_ρ x^ρ/ρ − ln 2π − ½ ln(1 − 1/x²), ρ = ½ + iγ по обох половинах смуги
хвиля одного нуля: 2 Re(x^ρ/ρ) = 2√x·(cos(γ ln x)/2 + γ sin(γ ln x))/(¼ + γ²); амплітуда 2√x/|ρ|
нулі: γ₁ = 14.134725, γ₂ = 21.022040, γ₃ = 25.010858 … γ₁₂₀ = 269.970449 (mpmath, 20 цифр, |ζ(½ + iγ)| нижче 1e-13)
нев'язка: RMS від ψ_N − ψ на 980 точках з [2, 100]: N = 0: 1.571, 10: 0.990, 50: 0.641, 120: 0.456
сходинки: ψ₁₂₀ зростає на 1.910 через x = 7 (ln 7 = 1.946), на 0.723 через 8 (ln 2 = 0.693), на 0.042 через 6 (не степінь простого)
критична пряма: Z(t) = 2 Σ_{n ≤ √(t/2π)} n^{−½} cos(θ(t) − t ln n) + (−1)^{N−1} (t/2π)^{−¼} C₀(p), θ(t) = t/2·ln(t/2π) − t/2 − π/8 + 1/48t + 7/5760t³
точність Z (виміряна): 1.1e-2 на [10, 100], 3.8e-3 на [100, 250]; |Z| у табличних нулях ≤ 1.1e-2
кількість: N(T) = T/2π·ln(T/2πe) + 7/8: 119.48 у γ₁₂₀, решта дорівнює S(T)
