Math
Простые из нулей дзета-функции
Явная формула Римана: лестница простых — это сумма волн, по одной на каждый нуль дзета-функции. Добавляй нули по одному и смотри, как прямая линия рябью превращается в простые: каждая ступенька на степени простого и высотой ln p. Внизу критическая прямая, первые 120 нулей как данные, невязка с решетом измерена на каждом нуле.
Что происходит
Считай простые с весом: ψ(x) Чебышёва поднимается на ln p при каждой степени простого p, p², p³ — лестница, золотая, точная, из решета. Риман обнаружил, что та же лестница — сумма волн. Начни с голой прямой x − ln 2π; для каждого нуля ρ = ½ + iγ дзета-функции вычти волну 2√x·(cos(γ ln x)/2 + γ sin(γ ln x))/(¼ + γ²), и прямая наклонится и пойдёт рябью. Добавь ещё нулей — и рябь сама сложится в ступени: ровно на степенях простых, каждая ровно ln p высотой, потому что формула не приближение, а тождество: со всеми нулями она И ЕСТЬ лестница. Смотри, как это происходит. Сцена кладёт нули по одному, а новейшую волну рисует отдельно под графиком, чтобы было видно, что вносит каждая: первый нуль, γ = 14,13, — самая длинная и медленная рябь; сотый — мелкая дрожь. Расстояние голубой линии от лестницы (RMS на 980 точках между скачками) падает с 1,57 без нулей до 0,46 при ста двадцати — медленно, потому что каждая волна убывает лишь как 1/γ, и эта медленность — самый глубокий факт на экране: как близко простые лежат к гладкой линии, решается тем, где стоят нули. Гипотеза Римана говорит, что все они лежат на прямой ½ + it; нижняя полоса рисует эту прямую, Z(t), с нулями таблицы точками там, где она меняет знак. Нули взяты из вычисления с двадцатью знаками; линия нарисована формулой Римана–Зигеля, которую модуль сверил с истиной до сотой и так и говорит. Сколько нулей до T? Риман сосчитал и это: T/2π·ln(T/2πe) + 7/8 — 119,5 на сто двадцатом, ошибка в половину, и эта половина — то, что никому ещё не покорилось.
Уравнения модуля
Уравнения
ступенчатая функция: ψ(x) = Σ_{p^k ≤ x} ln p (Чебышёв; из решета до 400)
явная формула: ψ₀(x) = x − Σ_ρ x^ρ/ρ − ln 2π − ½ ln(1 − 1/x²), ρ = ½ + iγ по обеим половинам полосы
волна одного нуля: 2 Re(x^ρ/ρ) = 2√x·(cos(γ ln x)/2 + γ sin(γ ln x))/(¼ + γ²); амплитуда 2√x/|ρ|
нули: γ₁ = 14.134725, γ₂ = 21.022040, γ₃ = 25.010858 … γ₁₂₀ = 269.970449 (mpmath, 20 знаков, |ζ(½ + iγ)| ниже 1e-13)
невязка: RMS величины ψ_N − ψ на 980 точках [2, 100]: N = 0: 1.571, 10: 0.990, 50: 0.641, 120: 0.456
ступени: ψ₁₂₀ поднимается на 1.910 при переходе через x = 7 (ln 7 = 1.946), на 0.723 через 8 (ln 2 = 0.693), на 0.042 через 6 (нет степени простого)
критическая прямая: Z(t) = 2 Σ_{n ≤ √(t/2π)} n^{−½} cos(θ(t) − t ln n) + (−1)^{N−1} (t/2π)^{−¼} C₀(p), θ(t) = t/2·ln(t/2π) − t/2 − π/8 + 1/48t + 7/5760t³
точность Z (измерено): 1.1e-2 на [10, 100], 3.8e-3 на [100, 250]; |Z| в табличных нулях ≤ 1.1e-2
число нулей: N(T) = T/2π·ln(T/2πe) + 7/8: 119.48 при γ₁₂₀, остальное даёт S(T)
