Math
Сколько места занимает клетка
Смени переменные в интеграле — появится множитель; писать r dr dθ учат всех, а откуда берётся это r, показывают немногим. Это определитель производной отображения — отношение площади крохотной клетки к площади её образа, измеренное здесь на самих многоугольниках. Три вещи, которыми этот определитель не является: знак есть ориентация, а не часть множителя; нулевой определитель означает схлопнувшееся ребро, а не мелкие клетки; и интеграл |det J| равен площади образа только при однократном покрытии. z → z² накрывает единичный круг дважды, и сумма ошибается ровно вдвое.
Что происходит
Смените переменные в двойном интеграле — появится множитель, то самое r полярных координат. Это не соглашение: это площадь маленькой клетки, в которую отображение превращает единичную, и модуль её измеряет. Сетка в исходной плоскости проталкивается через отображение; каждая клетка садится маленьким четырёхугольником, площадь которого, делённая на площадь клетки, сходится к определителю Якоби — точно для аффинного отображения, в первом порядке для остальных. Там, где отображение складывается, множитель проходит через ноль, и клетки переворачиваются. Попробуйте отображения, уменьшайте клетку и сравните измеренный множитель с det J на панели.
Уравнения модуля
Уравнения ∫∫ f dx dy = ∫∫ f(F(u,v)) |det J| du dv J = [[∂x/∂u, ∂x/∂v], [∂y/∂u, ∂y/∂v]] измерено: площадь образа клетки со знаком / h² → det J полярные координаты: det J = r; складка: det J = 0 вдоль сгиба
