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Quanto posto occupa una cella

Cambia variabili in un integrale e compare un fattore. È il determinante della derivata della mappa: il rapporto fra l'area di una cella minuscola e quella della sua immagine, misurato qui sui poligoni stessi. Il segno è un'orientazione e non parte del fattore, un determinante nullo significa un bordo collassato, e l'integrale di |det J| è l'area dell'immagine solo se la copre una volta sola.

Di Mykhailo Makarov

Quanto posto occupa una cella — Immagine reale dell’applicazione
Immagine reale dell’applicazione

Cosa succede

Cambia variabili in un integrale doppio e compare un fattore - la r delle coordinate polari. Non è una convenzione: è l'area della celletta che la mappa ricava da una cella unitaria, e questo modulo la misura. Una griglia nel piano di partenza è spinta attraverso la mappa; ogni cella atterra come un piccolo quadrilatero la cui area, divisa per quella della cella, converge al determinante jacobiano - esattamente per una mappa affine, al primo ordine per le altre. Dove la mappa si piega, il fattore passa per zero e le celle si ribaltano. Prova le mappe, rimpicciolisci la cella e confronta il fattore misurato con det J sul pannello.

Equazioni del modulo
Equazioni
∫∫ f dx dy = ∫∫ f(F(u,v)) |det J| du dv
J = [[∂x/∂u, ∂x/∂v], [∂y/∂u, ∂y/∂v]]
misurato: area con segno dell'immagine di una cella / h² → det J
polari: det J = r;  una piega: det J = 0 lungo la linea di piegatura

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Limiti invece di stime — Immagine reale dell’applicazione

Math

Limiti invece di stime

Ogni altro modo di calcolare dà un numero probabilmente giusto. L'aritmetica degli intervalli dà una coppia sicuramente giusta, e tutto il tema è quanto costa. Si chiama dipendenza: ogni occorrenza di una variabile conta come una variabile diversa, così x − x esce largo due. L'inclusione appartiene alla FORMULA, non alla funzione.

Tagliare una superficie — Immagine reale dell’applicazione

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Tagliare una superficie

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