Math
Fin dove arriva un polinomio di Taylor
Vicino al suo centro un polinomio di Taylor è indistinguibile dalla funzione, e ogni termine in più rende. Più lontano falliscono tre cose diverse: fuori dal raggio di convergenza più termini peggiorano la risposta senza limite, exp(−1/x²) ha una serie che converge ovunque ed è giusta in un solo punto, e perfino dentro il raggio la somma può perdere ogni cifra. Il raggio è la distanza da una singolarità che non sta sulla retta reale.
Cosa succede
Un polinomio di Taylor è il meglio che le derivate di una funzione in un punto possano dire di essa altrove. Vicino al punto l'affermazione è forte - l'errore cala come una potenza della distanza, una in più per ogni grado - e lo zoom lo mostra: ogni nuovo termine raddrizza l'approssimazione su una finestra più ampia. Lontano dal punto l'affermazione può fallire del tutto. 1/(1 + 25x²) è liscia su tutta la retta reale e la sua serie in 0 muore oltre |x| = 0,2, perché la funzione ha poli in ±i/5 che la retta reale non vede mai. Aggiungi termini, zooma e guarda il polinomio aderire alla curva dentro il raggio e volar via fuori.
Equazioni del modulo
Equazioni
T_n(x) = Σ_{k≤n} f^(k)(a)(x − a)^k/k!
resto ~ |x − a|^{n+1} vicino al centro
raggio di convergenza = distanza dalla singolarità più vicina nel piano complesso
1/(1 + 25x²): poli in ±i/5, R = 0.2 attorno a 0
dove più termini aiutano (tail1303): l'intervallo più ampio attorno ad a su cui |f − P_n| ≤ |f − P_(n−2)|, percorso verso l'esterno, contando come aiuto un pareggio o un resto inferiore a 4ε(|f| + Σ|c_k (x − a)^k|)
1/(1 + 25x²) attorno a 0: ±0.2 = R per n = 12 e per n = 24; attorno a 0.4: [0.144, 1.56] per n = 12, [−0.044, 0.844] ≈ a ± R = 0.4 ± 0.447 per n = 30 - aiutare ora non significa convergere
