Math
Wie weit ein Taylorpolynom reicht
Nahe seinem Mittelpunkt ist ein Taylorpolynom von der Funktion nicht zu unterscheiden, und jeder weitere Term zahlt sich aus. Weiter draußen geht dreierlei schief: außerhalb des Konvergenzradius machen mehr Terme die Antwort unbegrenzt schlechter, exp(−1/x²) hat eine Reihe, die überall konvergiert und nur an einem Punkt stimmt, und selbst innerhalb des Radius kann das Summieren jede Stelle verlieren. Der Radius ist der Abstand zu einer Singularität, die gar nicht auf der reellen Achse liegt.
Was passiert
Ein Taylor-Polynom ist das Beste, was die Ableitungen einer Funktion an einem Punkt über sie anderswo sagen können. Nahe am Punkt ist die Aussage stark - der Fehler fällt wie eine Potenz des Abstands, eine mehr mit jedem Grad -, und der Zoom zeigt es: jeder neue Term begradigt die Anpassung über ein breiteres Fenster. Fern vom Punkt kann die Aussage völlig versagen. 1/(1 + 25x²) ist auf der ganzen reellen Achse glatt, und seine Reihe um 0 stirbt jenseits |x| = 0,2, weil die Funktion Pole bei ±i/5 hat, die die reelle Achse nie sieht. Füge Terme hinzu, zoome, und sieh das Polynom sich innerhalb des Radius an die Kurve schmiegen und außerhalb davonfliegen.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen
T_n(x) = Σ_{k≤n} f^(k)(a)(x − a)^k/k!
Restglied ~ |x − a|^{n+1} nahe dem Entwicklungspunkt
Konvergenzradius = Abstand zur nächsten Singularität in der komplexen Ebene
1/(1 + 25x²): Pole bei ±i/5, R = 0.2 um 0
wo mehr Terme helfen (tail1303): das weiteste Intervall um a, auf dem |f − P_n| ≤ |f − P_(n−2)|, von innen nach außen abgeschritten, wobei Gleichstand oder ein Restglied unter 4ε(|f| + Σ|c_k (x − a)^k|) als Hilfe zählt
1/(1 + 25x²) um 0: ±0.2 = R bei n = 12 und bei n = 24; um 0.4: [0.144, 1.56] bei n = 12, [−0.044, 0.844] ≈ a ± R = 0.4 ± 0.447 bei n = 30 - Helfen ist hier nicht Konvergieren
