Math
Докуда достаёт многочлен Тейлора
Возле своего центра многочлен Тейлора неотличим от функции, и лишний член всегда окупается. Вдали от центра ломается тремя разными способами: за радиусом сходимости добавление членов делает ответ хуже без предела; у exp(−1/x²) ряд сходится всюду и совпадает с функцией в одной точке; и даже внутри радиуса суммирование далеко от центра способно выбросить все цифры. Сам радиус есть расстояние до особенности, которой на вещественной прямой нет вовсе, — поэтому третья сцена рисует комплексную плоскость, где ответ и живёт.
Что происходит
Многочлен Тейлора — лучшее, что производные функции в одной точке могут сказать о ней где-то ещё. Вблизи точки утверждение сильное — ошибка падает как степень расстояния, на единицу выше с каждым порядком, — и зум это показывает: каждый новый член выправляет приближение на более широком окне. Вдали от точки утверждение может провалиться совсем. 1/(1 + 25x²) гладка на всей вещественной прямой, а её ряд около 0 умирает за |x| = 0,2, потому что у функции полюсы в ±i/5, которых вещественная прямая не видит. Добавляйте члены, увеличивайте и смотрите, как многочлен льнёт к кривой внутри радиуса и улетает снаружи.
Уравнения модуля
Уравнения
T_n(x) = Σ_{k≤n} f^(k)(a)(x − a)^k/k!
остаток ~ |x − a|^{n+1} вблизи центра
радиус сходимости = расстояние до ближайшей особой точки на комплексной плоскости
1/(1 + 25x²): полюсы в ±i/5, R = 0.2 вокруг 0
где помогает больше членов (tail1303): самый широкий интервал вокруг a, на котором |f − P_n| ≤ |f − P_(n−2)|, при проходе наружу; равенство или остаток меньше 4ε(|f| + Σ|c_k (x − a)^k|) считается помощью
1/(1 + 25x²) вокруг 0: ±0.2 = R при n = 12 и при n = 24; вокруг 0.4: [0.144, 1.56] при n = 12, [−0.044, 0.844] ≈ a ± R = 0.4 ± 0.447 при n = 30 - помогать сейчас не значит сходиться
