Math

Развёртки многогранников

Разрежь многогранник по части рёбер и разверни на плоскость. Неразрезанные рёбра должны держать все грани связанными и без петель — остовное дерево графа граней, — и каждое такое дерево есть развёртка. Тело раскрывается по шарнирам составными поворотами, площадь развёртки сверяется с поверхностью, каждая пара граней отсекается друг об друга, чтобы доказать отсутствие наложений, а развёртки считаются с точностью до симметрий тела: две у тетраэдра, одиннадцать у куба, одиннадцать у его двойственного.

Автор — Mykhailo Makarov

Изображение из программы

Что происходит

Разрежьте куб по семи из двенадцати рёбер — по правильным семи — и он раскроется в одну из одиннадцати развёрток; неправильные семь оставят два куска или петлю. Неразрезанные рёбра должны образовывать остовное дерево граней, и всякое остовное дерево — развёртка, хотя некоторые, разложенные плоско, накладываются сами на себя. Раскрытие — движение на шарнирах: каждая грань поворачивается вокруг общего с родителем ребра, пока не исчезнет двугранный угол. У куба одиннадцать развёрток, у икосаэдра сорок три тысячи. Выберите тело, выберите, какие рёбра резать, и раскрывайте и складывайте.

Уравнения модуля

Уравнения
развёртка: нерассечённые рёбра образуют остовное дерево граней
раскладывание: каждая грань поворачивается вокруг общего ребра на π − двугранный угол
двугранные углы: тетраэдр 70.5°, куб 90°, октаэдр 109.5°, додекаэдр 116.6°, икосаэдр 138.2°
число развёрток куба: 11;  икосаэдра: 43 380

Другие эксперименты

К каталогу

Math

Вершины, рёбра, грани

Тело из нескольких десятков граней и V − E + F, прочитанное после каждой правки: триангулируй грань, поставь в неё вершину, раздели или сотри ребро, вырежи грань, измельчи все — журнал показывает, что каждая операция делает с V, E и F и что χ меняется только при вырезании дыры. Род выводится из χ с названными условиями: сколько кусков, сколько граничных петель, ориентируема ли поверхность — на ленте Мёбиуса формула даёт вместо рода число плёнок.

Math

Четырёхмерное тело проходит сквозь

Как четырёхмерное тело выглядит изнутри трёхмерного пространства: только своим срезом, и срез меняется, пока тело проходит. Тессеракт, идущий вершиной вперёд, показывает тетраэдр, который растёт, теряет углы, становится октаэдром и сжимается обратно; ячейкой вперёд — один куб на весь проход. Срезы построены из пересечённых ячеек, сосчитаны, измерены, и их объём, проинтегрированный по проходу, — четырёхмерный объём в любой ориентации: Кавальери на измерение выше.

Math

Расслоение Хопфа

Над каждой точкой обычной сферы в четырёхмерной сфере висит целая окружность, и эти окружности заполняют её целиком, ни разу не пересекаясь, — но любые две из них зацеплены, ровно один раз, как бы далеко ни разошлись их точки. Потяни точку по маленькому глобусу и смотри, как её окружность едет на большой картине; возьми целую параллель — и окружности сплетают тор. Коэффициент зацепления измеряется интегралом Гаусса, а угол между двумя окружностями выходит вдвое меньше угла между их точками — потому-то сфера Блоха кубита и имеет радиус одна вторая.