Math
Расслоение Хопфа
Над каждой точкой обычной сферы в четырёхмерной сфере висит целая окружность, и эти окружности заполняют её целиком, ни разу не пересекаясь, — но любые две из них зацеплены, ровно один раз, как бы далеко ни разошлись их точки. Потяни точку по маленькому глобусу и смотри, как её окружность едет на большой картине; возьми целую параллель — и окружности сплетают тор. Коэффициент зацепления измеряется интегралом Гаусса, а угол между двумя окружностями выходит вдвое меньше угла между их точками — потому-то сфера Блоха кубита и имеет радиус одна вторая.
Что происходит
Трёхмерная сфера — единичная сфера в четырёх измерениях — состоит из окружностей, по одной на каждую точку обычной сферы, и никакие две не касаются: это расслоение Хопфа. В записи через два комплексных числа умножение обоих на одну фазу двигает точку вдоль её окружности и не меняет её образ на обычной сфере. Спроецированные стереографически в наше пространство окружности снова становятся окружностями, вложенными в торы, и любые две зацеплены ровно один раз. Двигайте точку на маленькой сфере и смотрите на её слой; нарисуйте целую окружность точек — слои сплетут тор.
Уравнения модуля
Уравнения
h(z₁, z₂) = (2 Re(conj(z₁)z₂), 2 Im(conj(z₁)z₂), |z₁|² − |z₂|²), |z₁|² + |z₂|² = 1
h(e^{iφ}z₁, e^{iφ}z₂) = h(z₁, z₂): каждый слой - большая окружность
стереографическая проекция: (a, b, c, d) → (a, b, c)/(1 − d); окружности переходят в окружности
любые два слоя зацеплены один раз: lk = 1
