Math
La fibración de Hopf
Sobre cada punto de una esfera corriente hay, en la esfera de cuatro dimensiones, una circunferencia entera; esas circunferencias la llenan sin cruzarse jamás - y aun así dos cualesquiera están enlazadas, exactamente una vez, por lejos que estén sus puntos. Arrastra un punto por el globo pequeño y mira cómo su circunferencia se mueve en la imagen grande; toma un paralelo entero y las circunferencias tejen un toro. El número de enlace se mide con la integral de Gauss, y el ángulo entre dos circunferencias resulta ser la mitad del ángulo entre sus puntos - por eso la esfera de Bloch de un cúbit tiene radio un medio.
Qué ocurre
La tres-esfera - la esfera unidad en cuatro dimensiones - está hecha de círculos, uno por cada punto de una esfera ordinaria, y ninguno toca a otro: esa es la fibración de Hopf. Escrita con dos números complejos, multiplicar ambos por la misma fase mueve un punto a lo largo de su círculo y deja su imagen en la esfera ordinaria intacta. Proyectados estereográficamente a nuestro espacio, los círculos vuelven a ser círculos, anidados en toros, y dos cualesquiera están enlazados exactamente una vez. Mueve el punto en la esfera pequeña y mira su fibra; dibuja un círculo entero de puntos y las fibras tejen un toro.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones
h(z₁, z₂) = (2 Re(conj(z₁)z₂), 2 Im(conj(z₁)z₂), |z₁|² − |z₂|²), |z₁|² + |z₂|² = 1
h(e^{iφ}z₁, e^{iφ}z₂) = h(z₁, z₂): cada fibra es un círculo máximo
estereográfica: (a, b, c, d) → (a, b, c)/(1 − d); las circunferencias se transforman en circunferencias
dos fibras cualesquiera se enlazan una sola vez: lk = 1
