Math
La fibration de Hopf
Au-dessus de chaque point d'une sphère ordinaire se trouve, dans la sphère de dimension quatre, un cercle entier ; ces cercles la remplissent sans jamais se croiser - et pourtant deux quelconques d'entre eux sont enlacés, exactement une fois, quelle que soit la distance entre leurs points. Fais glisser un point sur le petit globe et regarde son cercle bouger dans la grande image ; prends tout un parallèle et les cercles tissent un tore. Le nombre d'enlacement est mesuré par l'intégrale de Gauss, et l'angle entre deux cercles vaut la moitié de l'angle entre leurs points - voilà pourquoi la sphère de Bloch d'un qubit a pour rayon un demi.
Ce qui se passe
La sphère de dimension trois - la sphère unité en quatre dimensions - est faite de cercles, un pour chaque point d'une sphère ordinaire, et aucun n'en touche un autre : c'est la fibration de Hopf. Écrite avec deux nombres complexes, multiplier les deux par la même phase déplace un point le long de son cercle et laisse son image sur la sphère ordinaire inchangée. Projetés stéréographiquement dans notre espace, les cercles redeviennent des cercles, emboîtés dans des tores, et deux quelconques sont enlacés exactement une fois. Déplacez le point sur la petite sphère et regardez sa fibre ; tracez un cercle entier de points et les fibres tissent un tore.
Équations du module
Équations
h(z₁, z₂) = (2 Re(conj(z₁)z₂), 2 Im(conj(z₁)z₂), |z₁|² − |z₂|²), |z₁|² + |z₂|² = 1
h(e^{iφ}z₁, e^{iφ}z₂) = h(z₁, z₂) : chaque fibre est un grand cercle
projection stéréographique : (a, b, c, d) → (a, b, c)/(1 − d) ; les cercles sont envoyés sur des cercles
deux fibres quelconques s'enlacent une fois : lk = 1
