Math
Billard mathématique
Un point rebondit à l'infini contre une paroi avec des angles égaux. Dans un cercle l'angle ne change jamais : la trajectoire évite un cercle plus petit où elle ne peut entrer, et une rotation rationnelle se referme en polygone. Dans un stade - deux demi-cercles reliés par des parois droites - rien ne se conserve que la vitesse, et deux trajectoires écartées d'un milliardième de degré sont séparées d'une largeur de table après vingt rebonds. Le panneau le mesure : l'écart est ajusté par une exponentielle ET par une droite.
Ce qui se passe
Un point dans une paroi fermée, rebondissant à jamais avec des angles égaux et sans perte de vitesse - tout le reste découle de la forme de la paroi. Dans un cercle l'angle avec la paroi se conserve : la trajectoire reste hors d'un cercle plus petit, la caustique, et se referme en polygone quand la rotation est une fraction rationnelle de tour. Dans une ellipse une autre quantité se conserve, et une bille passant par un foyer repasse à jamais par l'autre. Coupez le cercle en deux et écartez les moitiés - le stade de Bunimovich - et deux trajectoires écartées d'un milliardième se séparent d'un facteur e à chaque rebond. Essayez les trois parois, regardez la caustique, puis lisez la séparation que mesure le panneau.
Équations du module
Équations
v' = v − 2(v·n)n, |v| conservé
cercle : angle avec la paroi constant, rayon de la caustique R cos α
ellipse : J = v_x²/a² + v_y² − (x v_y − y v_x)²/a² conservé
stade : écart entre deux trajectoires ~ e^{λn}, λ ≈ 1.0 par rebond
