Math

Математический бильярд

Точка вечно отскакивает от стенки с равными углами. В круге угол не меняется: путь обходит меньшую окружность, в которую не может войти, а рациональный поворот замыкается в многоугольник. В стадионе — два полукруга, соединённых прямыми стенками — не сохраняется ничего, кроме скорости, и два пути, разошедшиеся на миллиардную долю градуса, через двадцать отскоков разнесены на ширину стола. Панель это измеряет: разлёт подгоняется и экспонентой, и прямой, и ответ — та, что подошла.

Автор — Mykhailo Makarov

Изображение из программы

Что происходит

Точка внутри замкнутой стенки отскакивает вечно с равными углами и без потери скорости — всё дальнейшее следует из формы стенки. В круге угол к стенке сохраняется, поэтому путь не заходит внутрь меньшего круга, каустики, и замыкается в многоугольник, когда поворот — рациональная доля оборота. В эллипсе сохраняется другая величина, и шар через один фокус проходит через второй вечно. Разрежьте круг пополам и раздвиньте половины — стадион Буниимовича — и два пути на миллиардную долю друг от друга расходятся в e раз за отскок. Попробуйте три стенки, посмотрите на каустику, потом прочтите расхождение, которое меряет панель.

Уравнения модуля

Уравнения
v' = v − 2(v·n)n,  |v| сохраняется
круг: угол со стенкой постоянен, радиус каустики R cos α
эллипс: J = v_x²/a² + v_y² − (x v_y − y v_x)²/a² сохраняется
стадион: расхождение двух траекторий ~ e^{λn}, λ ≈ 1.0 на отскок

Другие эксперименты

К каталогу

Math

Почему численная траектория врёт

Компьютер не умеет следовать траектории — он умеет делать шаги. Уменьшение шага вдвое делит ошибку на два, четыре или шестнадцать в зависимости от метода — до тех пор, пока шагов не станет столько, что накопленное округление перевесит, и меньший шаг сделает ответ ХУЖЕ. На орбите самый точный из четырёх методов всё равно теряет энергию по прямой, а менее точный лишь колеблется вечно: точность и уважение к инварианту — разные добродетели. А в хаотической системе путь обречён при любом методе: переживает не траектория, а аттрактор.

Math

Длина и площадь — не то, как фигура выглядит

Приближение может прижиматься к кривой сколь угодно близко и иметь неверную длину: лестница, сходящаяся к диагонали, на 41 % длиннее при любом измельчении, навсегда. Измерением выше — хуже. У фонаря Шварца все вершины лежат на цилиндре, треугольники сколь угодно мелки, а полная площадь стремится к истинным 2π, или к впятеро большему числу, или к бесконечности — только в зависимости от того, как гонятся два измельчения. Решает не размер кусочков, а их наклон, и панель его измеряет.

Math

Гонка точности

Точность покупается работой, и курс обмена — не свойство метода. Четыре правила интегрируют одну функцию, и валюта — сколько раз функцию прочли: гонка идёт на графике ошибки против числа вычислений с линией допуска, которую ставишь ты, после твоего прогноза победителя. На гладкой функции Гауссу хватает восьми чтений до машинной точности, а трапециям нужно шестьдесят пять тысяч; добавь в функцию один излом — и все правила высокого порядка сваливаются в одно и то же ползание. А после десяти миллионов слагаемых сами сложения теряют шесть знаков.