Math

Длина и площадь — не то, как фигура выглядит

Приближение может прижиматься к кривой сколь угодно близко и иметь неверную длину: лестница, сходящаяся к диагонали, на 41 % длиннее при любом измельчении, навсегда. Измерением выше — хуже. У фонаря Шварца все вершины лежат на цилиндре, треугольники сколь угодно мелки, а полная площадь стремится к истинным 2π, или к впятеро большему числу, или к бесконечности — только в зависимости от того, как гонятся два измельчения. Решает не размер кусочков, а их наклон, и панель его измеряет.

Автор — Mykhailo Makarov

Изображение из программы

Что происходит

Длина кривой — предел вписанных ломаных: для окружности это работает, и каждое удвоение сторон уменьшает недостачу вчетверо. Но лестница, всё мельче нарисованная вдоль диагонали, держит длину 2, прижимаясь к диагонали длины √2: у ломаной должны быть и короткие звенья, и малые углы. С площадью хуже. Фонарь Шварца вписывает треугольники в цилиндр, и смотря как его измельчать, площадь сходится к площади цилиндра, к чему-то большему или к бесконечности — треугольники складываются, как бумажный фонарик. Измельчайте фонарь обеими ручками и смотрите, куда уходит площадь.

Уравнения модуля

Уравнения
вписанный n-угольник: L = 2nR sin(π/n) → 2πR, недостача ~ π³R/3n²
лестница вдоль диагонали: длина 2 при любом n, хотя расстояние → 0
фонарь Шварца, m колец × n секторов: A = 2mnR sin(π/n) √((H/m)² + R²(1 − cos π/n)²)
m = n: A → 2πRH;  m = n³: A → ∞

Другие эксперименты

К каталогу

Math

Гонка точности

Точность покупается работой, и курс обмена — не свойство метода. Четыре правила интегрируют одну функцию, и валюта — сколько раз функцию прочли: гонка идёт на графике ошибки против числа вычислений с линией допуска, которую ставишь ты, после твоего прогноза победителя. На гладкой функции Гауссу хватает восьми чтений до машинной точности, а трапециям нужно шестьдесят пять тысяч; добавь в функцию один излом — и все правила высокого порядка сваливаются в одно и то же ползание. А после десяти миллионов слагаемых сами сложения теряют шесть знаков.

Math

Группы обоев и Пенроуз

Семнадцать групп обоев, каждая построена из одного-двух генераторов и приложена к мотиву, который ты тянешь; зеркальные копии вторым цветом, так что повороты, отражения и скользящие отражения различимы на глаз. Порядок группы, её повороты и зеркала прочитаны из элементов, а не из названия. И восемнадцатый узор — ромбы Пенроуза — со счётом толстых и тонких, идущим к золотому сечению.

Math

Почему появляется колокол

Сложи розыгрыши из любой формы — кубик, кривую монету, два горба, длинный хвост времени ожидания — и стандартизованная сумма превратится в один и тот же колокол. Одна выборка собирается на глазах и становится одной точкой серии рядом; сумма, среднее и стандартизованная сумма — три имени этой точки. Кумулянты суммы складываются, поэтому асимметрия падает как 1/√n, а эксцесс — как 1/n, и лист измеряет оба. И один источник всё ломает: у Коши нет дисперсии, и колокол не появляется никогда.