Math

Długość i pole to nie to, jak figura wygląda

Przybliżenie może przylegać do krzywej dowolnie blisko i mieć złą długość: schody zbiegające do przekątnej są o 41 % za długie przy każdym zagęszczeniu, na zawsze. O wymiar wyżej jest gorzej. Latarnia Schwarza ma każdy wierzchołek na walcu i trójkąty dowolnie małe, a jej pole całkowite dąży do prawdziwych 2π, do pięciokrotności tego, albo do nieskończoności - zależnie wyłącznie od tego, jak ścigają się oba zagęszczenia. Decyduje nie rozmiar kawałków, lecz ich nachylenie, a panel je mierzy.

Autor: Mykhailo Makarov

Obraz z aplikacji

Co się dzieje

Długość krzywej to granica wpisanych łamanych - dla okręgu to działa i każde podwojenie boków dzieli niedobór przez cztery. Ale schodki rysowane coraz drobniej wzdłuż przekątnej zachowują długość 2, choć tulą się do przekątnej długości √2: łamana musi mieć krótkie boki I małe kąty. Z polem jest gorzej. Latarnia Schwarza wpisuje trójkąty w walec i zależnie od sposobu zagęszczania pole zbiega do pola walca, do czegoś większego albo do nieskończoności - trójkąty składają się jak papierowy lampion. Zagęszczaj latarnię obiema gałkami i patrz, dokąd idzie pole.

Równania modułu

Równania
wpisany n-kąt: L = 2nR sin(π/n) → 2πR, niedobór ~ π³R/3n²
schodki zbliżane do przekątnej: długość 2 dla każdego n, choć odległość → 0
latarnia Schwarza, m pierścieni × n sektorów: A = 2mnR sin(π/n) √((H/m)² + R²(1 − cos π/n)²)
m = n: A → 2πRH;  m = n³: A → ∞

Inne eksperymenty

Wróć do katalogu

Math

Wyścig dokładności

Dokładność kupuje się pracą, a kurs wymiany nie jest cechą metody. Cztery reguły całkują tę samą funkcję, a walutą jest liczba odczytów funkcji: wyścig toczy się na wykresie błędu wobec liczby obliczeń z linią tolerancji, którą ustawiasz ty, po przewidzeniu zwycięzcy. Na gładkiej funkcji Gauss dochodzi do precyzji maszynowej w ośmiu odczytach, a trapezom potrzeba sześćdziesięciu pięciu tysięcy; wstaw w funkcję jedno załamanie, a każda reguła wysokiego rzędu wpada w to samo pełzanie. A po dziesięciu milionach składników same dodawania tracą sześć cyfr.

Math

Grupy tapetowe i Penrose

Siedemnaście grup tapetowych, każda zbudowana z jednego lub dwóch generatorów i przyłożona do motywu, który przeciągasz; kopie odbite w drugim kolorze, by obroty, odbicia i odbicia z poślizgiem dało się rozróżnić gołym okiem. Rząd grupy, jej obroty i lustra odczytane z elementów, nie z nazwy. I osiemnasty wzór - romby Penrose'a - z liczbą grubych i cienkich zmierzającą do złotej liczby.

Math

Dlaczego pojawia się dzwon

Dodawaj losowania z dowolnego kształtu - kostkę, fałszywą monetę, dwa garby, długi ogon czasu oczekiwania - a standaryzowana suma zmieni się w ten sam dzwon. Jedna próbka zbiera się na oczach i staje się jednym punktem serii obok; suma, średnia i standaryzowana suma to trzy nazwy tego punktu. Kumulanty sumy się dodają, więc skośność maleje jak 1/√n, a kurtoza nadwyżkowa jak 1/n, i arkusz mierzy obie. Jedno źródło wszystko psuje: rozkład Cauchy'ego nie ma wariancji i dzwon nigdy się nie pojawia.