Math
Довжина і площа — не те, як фігура виглядає
Наближення може притискатися до кривої скільки завгодно близько і мати хибну довжину: драбина, що збігається до діагоналі, на 41 % довша за будь-якого здрібнення, назавжди. Виміром вище — гірше. У ліхтаря Шварца всі вершини лежать на циліндрі, трикутники скільки завгодно дрібні, а повна площа прямує до істинних 2π, або до вп’ятеро більшого числа, або до нескінченності — залежно лише від того, як біжать наввипередки два здрібнення. Вирішує не розмір шматочків, а їхній нахил, і панель його вимірює.
Що відбувається
Довжина кривої — границя вписаних ламаних: для кола це працює, і кожне подвоєння сторін зменшує нестачу вчетверо. Але сходинки, дедалі дрібніше намальовані вздовж діагоналі, тримають довжину 2, притискаючись до діагоналі довжини √2: у ламаної мають бути і короткі ланки, і малі кути. З площею гірше. Ліхтар Шварца вписує трикутники в циліндр, і залежно від того, як його подрібнювати, площа збігається до площі циліндра, до чогось більшого або до нескінченності — трикутники складаються, як паперовий ліхтарик. Подрібнюйте ліхтар обома ручками й дивіться, куди йде площа.
Рівняння модуля
Рівняння вписаний n-кутник: L = 2nR sin(π/n) → 2πR, недобір ~ π³R/3n² сходинки до діагоналі: довжина 2 для кожного n, хоча відстань → 0 ліхтар Шварца, m кілець × n секторів: A = 2mnR sin(π/n) √((H/m)² + R²(1 − cos π/n)²) m = n: A → 2πRH; m = n³: A → ∞
