Math

La longitud y el área no son el aspecto de una forma

Una aproximación puede ceñirse a una curva todo lo que se quiera y tener la longitud equivocada: una escalera que converge a una diagonal es un 41 % más larga en cada refinamiento, para siempre. Una dimensión más arriba es peor. La linterna de Schwarz tiene todos sus vértices sobre un cilindro y triángulos tan pequeños como se quiera, y su área total tiende a los verdaderos 2π, a cinco veces eso, o al infinito, según únicamente cómo compiten sus dos refinamientos. Lo que decide no es el tamaño de las piezas sino su inclinación, y el panel la mide.

Por Mykhailo Makarov

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Qué ocurre

La longitud de una curva es el límite de polígonos inscritos: para el círculo funciona, y cada duplicación de lados divide el déficit por cuatro. Pero una escalera dibujada cada vez más fina a lo largo de una diagonal conserva longitud 2 mientras se pega a una diagonal de longitud √2: el polígono necesita lados cortos Y ángulos pequeños. El área es peor. La linterna de Schwarz inscribe triángulos en un cilindro y, según cómo se refine, el área total converge a la del cilindro, a algo mayor o a infinito: los triángulos se pliegan como una linterna de papel. Refina la linterna con ambos mandos y mira adónde va el área.

Ecuaciones del módulo

Ecuaciones
n-ágono inscrito: L = 2nR sin(π/n) → 2πR, déficit ~ π³R/3n²
escalera hacia una diagonal: longitud 2 para todo n, aunque la distancia → 0
linterna de Schwarz, m anillos × n sectores: A = 2mnR sin(π/n) √((H/m)² + R²(1 − cos π/n)²)
m = n: A → 2πRH;  m = n³: A → ∞

Otros experimentos

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La carrera de la precisión

La precisión se compra con trabajo, y el tipo de cambio no es una propiedad del método. Cuatro reglas integran la misma función y la moneda es cuántas veces se lee la función: la carrera se corre sobre un gráfico del error frente a las evaluaciones, con una línea de tolerancia que pones tú, después de predecir el ganador. En una función suave, Gauss llega a la precisión de máquina con ocho lecturas mientras la regla del trapecio necesita sesenta y cinco mil; pon un solo pico en la función y todas las reglas de orden alto caen en el mismo avance lento. Y pasados diez millones de términos, las propias sumas pierden seis cifras.

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Grupos de papel pintado y Penrose

Los diecisiete grupos de papel pintado, cada uno construido con uno o dos generadores y aplicado a un motivo que arrastras; las copias reflejadas en un segundo color, para distinguir a ojo rotaciones, reflexiones y reflexiones con deslizamiento. El orden del grupo, sus rotaciones y sus espejos leídos de los elementos, no del nombre. Y el decimoctavo patrón - rombos de Penrose - con el recuento de gruesos y finos caminando hacia la razón áurea.

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Por qué aparece la campana

Suma extracciones de cualquier forma (un dado, una moneda trucada, dos jorobas, la larga cola de un tiempo de espera) y la suma estandarizada se convierte en la misma campana. Una muestra se reúne ante tus ojos y se convierte en un punto de la serie de al lado; la suma, la media y la suma estandarizada son tres nombres de ese punto. Los cumulantes de una suma se suman, así que la asimetría cae como 1/√n y el exceso de curtosis como 1/n, y la hoja mide ambos. Y una fuente lo rompe: una Cauchy no tiene varianza y nunca aparece la campana.