Math

La longueur et l'aire ne sont pas l'apparence d'une forme

Une approximation peut épouser une courbe d'aussi près qu'on veut et avoir la mauvaise longueur : un escalier convergeant vers une diagonale est 41 % trop long à chaque raffinement, pour toujours. Une dimension plus haut, c'est pire. La lanterne de Schwarz a tous ses sommets sur un cylindre et des triangles aussi petits qu'on veut, et son aire totale tend vers les vrais 2π, vers cinq fois cela, ou vers l'infini - selon seulement la façon dont ses deux raffinements courent l'un contre l'autre. Ce qui décide n'est pas la taille des morceaux mais leur inclinaison, et le panneau la mesure.

Par Mykhailo Makarov

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Ce qui se passe

La longueur d'une courbe est la limite de polygones inscrits - pour le cercle cela marche, et chaque doublement des côtés divise le déficit par quatre. Mais un escalier tracé de plus en plus fin le long d'une diagonale garde la longueur 2 tout en épousant une diagonale de longueur √2 : il faut au polygone des côtés courts ET des angles petits. L'aire est pire. La lanterne de Schwarz inscrit des triangles dans un cylindre, et selon la manière de raffiner, l'aire totale converge vers celle du cylindre, vers quelque chose de plus grand, ou vers l'infini - les triangles se plient comme une lanterne de papier. Raffinez la lanterne avec les deux boutons et regardez où va l'aire.

Équations du module

Équations
n-gone inscrit : L = 2nR sin(π/n) → 2πR, déficit ~ π³R/3n²
escalier vers une diagonale : longueur 2 pour tout n, bien que la distance → 0
lanterne de Schwarz, m anneaux × n secteurs : A = 2mnR sin(π/n) √((H/m)² + R²(1 − cos π/n)²)
m = n: A → 2πRH;  m = n³: A → ∞

Autres expériences

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Math

La course à la précision

La précision s'achète par le travail, et le taux de change n'est pas une propriété de la méthode. Quatre règles intègrent la même fonction et la monnaie est le nombre de lectures de la fonction : la course se joue sur un graphique de l'erreur contre les évaluations, avec une ligne de tolérance que tu places, après avoir prédit le vainqueur. Sur une fonction lisse, Gauss atteint la précision machine en huit lectures quand la règle des trapèzes en demande soixante-cinq mille ; mets un seul coude dans la fonction et toutes les règles d'ordre élevé retombent dans la même lenteur. Et au-delà de dix millions de termes, les additions elles-mêmes perdent six chiffres.

Math

Groupes de papier peint et Penrose

Les dix-sept groupes de papier peint, chacun bâti d'un ou deux générateurs et appliqué à un motif que tu fais glisser ; les copies réfléchies dans une seconde couleur, pour distinguer à l'œil rotations, réflexions et réflexions glissées. L'ordre du groupe, ses rotations et ses miroirs lus sur les éléments, non sur le nom. Et le dix-huitième motif - les losanges de Penrose - dont le compte des gros et des fins marche vers le nombre d'or.

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Pourquoi la cloche apparaît

Additionne des tirages de n'importe quelle forme - un dé, une pièce truquée, deux bosses, la longue queue d'un temps d'attente - et la somme centrée réduite devient la même cloche. Un échantillon est constitué sous tes yeux et devient un point de la série à côté ; la somme, la moyenne et la somme centrée réduite sont trois noms de ce point. Les cumulants d'une somme s'additionnent, donc l'asymétrie décroît en 1/√n et l'excès de kurtosis en 1/n, et la feuille mesure les deux. Et une source casse tout : une Cauchy n'a pas de variance, et aucune cloche n'apparaît jamais.