Math

La course à la précision

La précision s'achète par le travail, et le taux de change n'est pas une propriété de la méthode. Quatre règles intègrent la même fonction et la monnaie est le nombre de lectures de la fonction : la course se joue sur un graphique de l'erreur contre les évaluations, avec une ligne de tolérance que tu places, après avoir prédit le vainqueur. Sur une fonction lisse, Gauss atteint la précision machine en huit lectures quand la règle des trapèzes en demande soixante-cinq mille ; mets un seul coude dans la fonction et toutes les règles d'ordre élevé retombent dans la même lenteur. Et au-delà de dix millions de termes, les additions elles-mêmes perdent six chiffres.

Par Mykhailo Makarov

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Ce qui se passe

Quatre façons d'intégrer une fonction, en course pour une seule monnaie : les évaluations de la fonction. Sur un intégrande lisse, les trapèzes gagnent deux chiffres à chaque pas divisé par deux, Simpson quatre, Romberg davantage à chaque niveau, et Gauss l'emporte nettement - huit points pour quinze chiffres. Mettez un pli dans l'intégrande et la course s'effondre : toutes les règles rampent au rythme des trapèzes, et Gauss, qui suppose la régularité, n'arrive jamais. Rendez-le ondulé et l'ordre bascule encore. Essayez les trois intégrandes et regardez qui atteint 1e-10 le premier et à quel prix.

Équations du module

Équations
trapèze : erreur ~ h², Simpson ~ h⁴, Romberg ~ h^{2k}, Gauss ~ e^{−cn} (f lisse)
coût = nombre d'évaluations de f, et non de pas
e^x sur [0,1], 9 évaluations : 2e−3 / 2e−6 / 3e−10 / 1e−15
|x − 0.4| : toutes les règles ~ h², Gauss ne fait pas mieux

Autres expériences

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Math

Groupes de papier peint et Penrose

Les dix-sept groupes de papier peint, chacun bâti d'un ou deux générateurs et appliqué à un motif que tu fais glisser ; les copies réfléchies dans une seconde couleur, pour distinguer à l'œil rotations, réflexions et réflexions glissées. L'ordre du groupe, ses rotations et ses miroirs lus sur les éléments, non sur le nom. Et le dix-huitième motif - les losanges de Penrose - dont le compte des gros et des fins marche vers le nombre d'or.

Math

Pourquoi la cloche apparaît

Additionne des tirages de n'importe quelle forme - un dé, une pièce truquée, deux bosses, la longue queue d'un temps d'attente - et la somme centrée réduite devient la même cloche. Un échantillon est constitué sous tes yeux et devient un point de la série à côté ; la somme, la moyenne et la somme centrée réduite sont trois noms de ce point. Les cumulants d'une somme s'additionnent, donc l'asymétrie décroît en 1/√n et l'excès de kurtosis en 1/n, et la feuille mesure les deux. Et une source casse tout : une Cauchy n'a pas de variance, et aucune cloche n'apparaît jamais.

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La moyenne se pose, le compte non

Une chaîne qu'on peut lire - résultat, somme, moyenne - et deux graphiques sur un même axe log n avec un seul curseur : l'écart de la moyenne entre dans un entonnoir de ±2σ/√n, tandis que l'excédent S_n − nμ croît comme √n et ne se pose jamais. Prédis d'abord si l'excédent tend aussi vers zéro, puis laisse la série grandir ; six autres séries dans les mêmes conditions sont à côté. Une série forcée est oubliée par la moyenne et gardée par le compte ; pour la pièce les nombres sont exacts par la binomiale ; et une source de Cauchy, sans moyenne, ne se pose jamais.