Math

Wyścig dokładności

Dokładność kupuje się pracą, a kurs wymiany nie jest cechą metody. Cztery reguły całkują tę samą funkcję, a walutą jest liczba odczytów funkcji: wyścig toczy się na wykresie błędu wobec liczby obliczeń z linią tolerancji, którą ustawiasz ty, po przewidzeniu zwycięzcy. Na gładkiej funkcji Gauss dochodzi do precyzji maszynowej w ośmiu odczytach, a trapezom potrzeba sześćdziesięciu pięciu tysięcy; wstaw w funkcję jedno załamanie, a każda reguła wysokiego rzędu wpada w to samo pełzanie. A po dziesięciu milionach składników same dodawania tracą sześć cyfr.

Autor: Mykhailo Makarov

Obraz z aplikacji

Co się dzieje

Cztery sposoby całkowania funkcji ścigają się o jedną walutę: wywołania funkcji. Na gładkiej funkcji trapezy zyskują dwie cyfry przy każdym połowieniu kroku, Simpson cztery, Romberg więcej z każdym poziomem, a Gauss wygrywa bezapelacyjnie - osiem punktów na piętnaście cyfr. Wstaw załamanie, a wyścig się wali: każda reguła pełznie w tempie trapezów, a Gauss, zakładający gładkość, nigdy nie dociera. Zrób funkcję falistą, a kolejność znów się odwraca. Wypróbuj trzy funkcje i patrz, kto pierwszy osiąga 1e-10 i jakim kosztem.

Równania modułu

Równania
metoda trapezów: błąd ~ h², Simpsona ~ h⁴, Romberga ~ h^{2k}, Gaussa ~ e^{−cn} (dla gładkiej f)
koszt = liczba obliczeń funkcji f, a nie kroków
e^x na [0,1], 9 obliczeń: 2e−3 / 2e−6 / 3e−10 / 1e−15
|x − 0.4|: każdy wzór ~ h², kwadratura Gaussa nie jest lepsza

Inne eksperymenty

Wróć do katalogu

Math

Grupy tapetowe i Penrose

Siedemnaście grup tapetowych, każda zbudowana z jednego lub dwóch generatorów i przyłożona do motywu, który przeciągasz; kopie odbite w drugim kolorze, by obroty, odbicia i odbicia z poślizgiem dało się rozróżnić gołym okiem. Rząd grupy, jej obroty i lustra odczytane z elementów, nie z nazwy. I osiemnasty wzór - romby Penrose'a - z liczbą grubych i cienkich zmierzającą do złotej liczby.

Math

Dlaczego pojawia się dzwon

Dodawaj losowania z dowolnego kształtu - kostkę, fałszywą monetę, dwa garby, długi ogon czasu oczekiwania - a standaryzowana suma zmieni się w ten sam dzwon. Jedna próbka zbiera się na oczach i staje się jednym punktem serii obok; suma, średnia i standaryzowana suma to trzy nazwy tego punktu. Kumulanty sumy się dodają, więc skośność maleje jak 1/√n, a kurtoza nadwyżkowa jak 1/n, i arkusz mierzy obie. Jedno źródło wszystko psuje: rozkład Cauchy'ego nie ma wariancji i dzwon nigdy się nie pojawia.

Math

Średnia się ustala, zliczenie nie

Łańcuch, który da się przeczytać - wynik, suma, średnia - i dwa wykresy na jednej osi log n z jednym kursorem: odchylenie średniej wchodzi w lejek ±2σ/√n, a nadwyżka S_n − nμ rośnie jak √n i nigdy się nie ustala. Najpierw przewidź, czy nadwyżka też dąży do zera, potem pozwól serii rosnąć; obok stoi sześć innych serii w tych samych warunkach. Wymuszoną serię średnia zapomina, a liczenie ją zachowuje; dla monety liczby są dokładne z rozkładu dwumianowego; a źródło Cauchy'ego, bez średniej, nie ustala się wcale.