Math

La corsa alla precisione

La precisione si compra con il lavoro, e il tasso di cambio non è una proprietà del metodo. Quattro regole integrano la stessa funzione e la moneta è quante volte la funzione viene letta: la gara si corre su un grafico dell'errore contro le valutazioni, con una linea di tolleranza che fissi tu, dopo aver previsto il vincitore. Su una funzione liscia Gauss raggiunge la precisione di macchina con otto letture, mentre la regola dei trapezi ne chiede sessantacinquemila; metti un solo spigolo nella funzione e tutte le regole di ordine alto ricadono nella stessa lentezza. E oltre dieci milioni di termini le addizioni stesse perdono sei cifre.

Di Mykhailo Makarov

Immagine reale dell’applicazione

Cosa succede

Quattro modi di integrare una funzione, in gara con una sola moneta: le valutazioni della funzione. Su un integrando liscio i trapezi guadagnano due cifre a ogni dimezzamento del passo, Simpson quattro, Romberg di più a ogni livello, e Gauss vince nettamente - otto punti per quindici cifre. Metti un angolo nell'integrando e la gara crolla: ogni regola striscia al passo dei trapezi, e Gauss, che presuppone la regolarità, non arriva mai. Rendilo ondulato e l'ordine si ribalta di nuovo. Prova i tre integrandi e guarda chi raggiunge 1e-10 per primo e a che prezzo.

Equazioni del modulo

Equazioni
trapezi: errore ~ h², Simpson ~ h⁴, Romberg ~ h^{2k}, Gauss ~ e^{−cn} (f liscia)
costo = valutazioni di f, non passi
e^x su [0,1], 9 valutazioni: 2e−3 / 2e−6 / 3e−10 / 1e−15
|x − 0.4|: ogni regola ~ h², Gauss non fa meglio

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